混合覆盖阵列及相关设计

The mixed covering array is a generalization of orthogonal array. It is also one of the core contents and hot topics in the research field of combinatorics, which has been widely applied in experimental design, computer science, coding cryptography, network communication theory, software engineering and so on. The project aims to investigate the existence problems of the mixed covering arrays and some related combinatorial designs. It mainly focuses on studying and solving these problems by the methods of design theory and the tools such as graph theory, finite field, number theory and computer algorithm. The main contents of the project include the following two aspects: explore the constructions of mixed covering arrays, variable strength mixed covering arrays, mixed covering arrays on graphs or hypergraphs and their applications in software testing and other fields; consider orthogonal arrays with special properties and their applications in quantum information and image encryption. The achievement of this project will further improve the combinatorial design theory; meanwhile, it will provide theoretical support for the practical application of this branch.

混合覆盖阵列是正交阵列的推广，是组合数学领域研究的核心内容和热点问题之一，在试验设计、计算机科学、编码密码学、网络通讯理论和软件工程等方面有着广泛的应用。本项目拟利用组合设计的理论和方法，结合图论、有限域、数论和计算机算法等工具，研究混合覆盖阵列及相关设计的存在性问题。具体内容包括两个方面：一是混合覆盖阵列、变强度混合覆盖阵列、图与超图上混合覆盖阵列的构造及其在软件测试等领域中的应用；二是研究带有特殊性质的正交阵列及其在量子信息和图像加密等方面的应用。本项目的研究成果将进一步完善组合设计理论，并为该分支的研究成果走向实际应用提供理论支持。

本项目主要研究变强度混合覆盖阵列、非冗余正交阵列等几类组合结构的存在性及其在编码与密码、量子信息以及图像加密等领域中的应用。项目进展顺利，完成了计划书中预定的全部任务。. 本项目研究了一致强度为2且带多个子强度3，一致强度为3且带多个子强度4的变强度混合正交阵列，给出了变强度混合覆盖阵列数的一个新上界及几类特殊的3-一致超图上最优混合覆盖阵列的存在性；对水平数为 v，强度为2的非冗余正交阵列(IrOA)，给出了因子数k=5，6；或 k=q，q+1，v=q (大于3的素数幂) 时IrOA的存在性，进而利用IrOA与2-均匀态的对应关系给出了一些2-均匀态；讨论了正交量子拉丁方、正交量子拉丁立方与量子正交阵列，给出了一些新的构造方法及存在结果，并由此得到了相应的2，3-均匀态；基于正交拉丁方和弱正交拉丁方分别给出了三体等维系统与三体不等维系统上相互无偏绝对最大纠缠基的构造，基于差矩阵和Hadamard矩阵给出了最大纠缠基和直积基的构造方法；利用强度为2的正交阵列和具有截态分解性质的拉丁方分别给出了高效且有很强灵活性的新型图像加密算法；利用“差”和“轨道”的方法给出了几何正交码（GOC）和旋转几何正交码（RGOC）的组合描述，改进了码字容量的一般上界，确定了码字权重为k，互相关系数为 k-1，自相关系数为k-1，k-2, k-3时GOC码字容量的精确值，给出了自相关系数≤k-4时的计算方法，基本解决了码字权重为{3,4}与{3,4,5}，自相关与互相关系数均为1时最优GOC的存在性；探讨了部分几何设计（差集与差族）的构造方法；证明了区组长度为3的带洞的Mendelsohn型设计的存在性；利用填充设计讨论了局部修复码与可修复门限方案。项目执行期间，项目组共发表学术论文20篇，其中SCI源期刊论文15篇。