混合正交阵列及相关问题研究

Orthogonal array is a combinatorial configuration introduced by the statistician C.R. Rao in 1947 when he studied experiment designs. It is also an important object in combinatorial designs and experiment designs. In the past few decades, orthogonal arrays have interested both mathematicians and statisticians. In addition, orthogonal arrays have close connection to many fields (such as statistics, coding cryptography, computer science,etc.) and mathematical branches (finite fields, number theory, geometry, experiment designs,ect). With the development of information science and molecular biology, orthogonal arrays with various constraints have been put forward and investigated, such as mixed orthogonal arrays, covering arrays, etc. In short, orthogonal arrays have important application background, while they also enrich the theory of combinatorial designs. We propose to study on the construction of mixed orthogonal arrays,covering arrays and other related issues.

正交阵列是统计学家C.R. Rao在1947年研究试验设计时引入的一种组合构形，是组合设计理论和试验设计理论研究的重要课题之一。在过去的几十年中，许多组合数学家和统计学家致力于正交阵列的研究，得到了丰富的成果，同时也揭示了正交阵列与其它学科（如统计学、编码密码学、计算机科学等）、分支（有限域、数论、几何、试验设计等）的密切联系。随着信息科学和分子生物学的发展，带有各种约束条件的正交阵列如：混合正交阵列、覆盖阵列等相继被提出并进行研究，这些问题均有着强烈的应用背景，对它们的研究成果丰富了组合设计的理论。本项目基于目前国内外对于正交阵列的研究热点，计划研究混合正交阵列、覆盖阵列的构造及其相关问题。

本项目主要研究混合正交阵列的构造及其相关问题，按照计划书的要求进行工作，项目研究工作进展顺利，完成了项目的预定的计划任务。本项目基本解决了强度为2、因子数为4, 5, 6和强度为t 、因子数为t + 1的混合正交阵列的存在性，证明了该类正交阵列存在的必要条件也是充分的除了一些例外和一个可能的例外。对于强度为3的混合正交阵列给出了新的构造方法，并且应用这些构造得到了一系列新的强度为3的混合正交阵列；基本解决了强度为3区组长度k=4、5的混合正交阵列的存在性，除了几个特殊的型外；得到了强度3，因子数5，水平数为单偶数的覆盖阵的新上界；并且完全解决了强度t，因子数t+1的最优混合覆盖阵列的存在性。另外，项目组还构作了几类LDPC码并确定了部分LDPC码的最小距离，讨论了部分LDPC码的译码算法；研究了具有参数n,k,m 的最优组合批处理码，给出了m 个子集中元素总数的最小值N(n,k,m)的一些性质，利用这些性质和已有的结果给出了N（n，k，m）的一个上下界，并利用组合处理码的单调性质给出了几组特殊参数的组合批处理码的最优值。项目组在《IEEE Trans. on Inform. Theory 》、《 J. Combin. Designs》、 《 Discrete Maths. 》 、《Linear Algebra Appl.》、 《 中国科学-A 》等刊物发表学术论文 15篇。