有向可分组 3-设计及其应用

Combinatorial design theory is one of the important branches of combinatorial mathematics, which mainly studies the existence, construction and classification problems of discrete configurations. In recent years, the hot research areas of combinatorial design theory are the problems with application backgrounds and classical designs. This project will investigate the existence of several directed 3-designs and their applications in coding theory and cryptography. We will study uniform directed group divisible 3-designs and uniform directed candelabra systems with block sizes three or four，which will be used to construct perfect deletion and insertion-correcting codes, constant composition codes and so on; Mendelsohn group divisible 3-designs and Mendelsohn candelabra systems with resolvable or partitioned property, which will be used to construct the large sets of Mendelsohn triple systems with special types. The research on these subjects has important theoretical and applicable value.

组合设计是组合数学的一个重要分支，主要研究各种离散结构的存在性、构造和分类等问题。近年来，有着应用背景的设计存在问题和经典的组合设计存在问题一直是组合设计领域国内外研究的热点。本项目拟讨论几类有向3-设计的存在性及其在编码密码学中的应用。研究内容主要包括：区组长度为3, 4，组型一致的有向可分组3-设计和有向烛台形系，以及其在完备删位和插位纠错码、常重复合码等方面的应用；带有可分解性质、可划分性质的Mendelsohn型可分组3-设计和Mendelsohn烛台形系，以及其在构作特殊类型的Mendelsohn三元系大集方面的应用。这些课题的研究具有重要的理论意义和应用价值。

本项目主要研究几类有向可分组3-设计和有向烛台形系的存在性及其相关问题，按照计划书的要求进行工作，项目研究进展顺利，完成了预定的计划任务。 .本项目讨论了区组长为 4，型为 (g^ns^1) 的 Directed 型可分组3-设计，对相遇数λ≥1, n=4,5 的情形，除一些可能例外值，确定了其存在谱；基本解决了强度为 2，区组长为 3，λ≥1，型为(n, m^t)的 Directed 型带洞标架设计的存在性；基本给出了强度为 2，区组长为 4，λ≥1，型为(g,h)^u的 Directed 型不完全可分组设计的存在性；确定了区组长为 4，λ≥1，型为(g^n:0)(n≥2)和(g^4:s)时 Directed 型烛台形四元系(DCQS)存在的充要条件，除一类可能例外值，基本确定了n=3,5时 DCQS 的存在性；给出了区组长度为 4，λ≥1，型为g^n的 Mendelsohn 型可分组3-设计，型为(g^2:0)和(g^3:s)的 Mendelsohn 型烛台形系，以及 Mendelsohn 型四元系的存在性；研究了可分组 Mendelsohn (Directed，或 Hybrid) 型三元系大集 LHMTS(m^v) (LHDTS(m^v), 或 LHHTS (m^v))，除v=6时 Mendelsohn 型的可能情形外，确定了它们的存在谱；给出了r-LMTS(v) 的一些无穷类；对λ>1，除G_2-OD_λ(3,4,7)外，给出了有序设计G-OD_λ(3,4,v)的存在性，这里 G 为4次对称群 S_4 的子群；确定了完全二部图 Kv,v 的λ重 K2,2-因子分解大集的存在谱；基本解决了强度为2并包含一个强度为3的，因子数为4,5,6的最优变强度混合覆盖阵的存在性；给出了权重为5的一类最优无线脉冲序列的存在性；给出了区组长为4的 1½-设计（差集、差族）的一些存在结果；研究了基于射影几何的有向强正则图及 LDPC 码的存在性；构造了一些有向强正则图，并确定了它们的全自同构群；分别给出了基于自正交拉丁方和拉丁立方的新型图像加密算法。项目执行期间，项目组共发表（或接收）学术论文 13 篇，其中 SCI源期刊论文11 篇。