非局部顶点代数的扭张量积理论

Recently H.Li and the applicant have been preliminarily developed twisted tensor product theory of nonlocal vertex algebras, and there still be a lot of work to do in systematically studying twisted tensor product theory of nonlocal vertex algebras. The main contents of this project can be divided into the following two aspects: (1) We will introduce and study the L-R-smash product and L-R twisted tensor product of nonlocal vertex algebras, and give more specific examples of quantum vertex algebras. Furthermore, we will study the invariance under twisting, iterated twisted tensor product and Coherence Theorem of nonlocal vertex algebras. (2) Compared with the structure theory, there are a lot of more profound problems to study in representation theory. In view of the correspondence between modules of twisted tensor product factor and modules of twisted tensor product, we will classify irreducible modules of twisted tensor product of nonlocal vertex algebras. Furthermore, we will characterize modules for iterated twisted tensor product of nonlocal vertex algebras, and give a way to construct modules of iterated twisted tensor product from modules of iterated twisted tensor product factor.

最近H.Li和申请人已初步建立起研究非局部顶点代数的扭张量积理论的基础，系统地研究非局部顶点代数的扭张量积理论还有许多工作要做. 本项目的主要研究内容大致可以分成如下两个方面: (1)引入和研究非局部顶点代数的L-R-smash积和L-R扭张量积, 给出更多量子顶点代数的具体例子. 进一步地, 将研究非局部顶点代数的扭张量积下的不变性、非局部顶点代数的迭代扭张量积及其连贯性定理等重要问题；(2)与结构理论相比较, 表示理论有更丰富而又更深刻的问题值得我们去深入研究. 利用扭张量积因子的模和扭张量积的模之间的对应关系, 对非局部顶点代数扭张量积的不可约模进行分类；刻画非局部顶点代数迭代扭张量积的模, 同时给出一种由迭代扭张量积因子的模构造迭代扭张量积的模的有效方法.

顶点算子代数是出现在二十世纪八十年代的一类新的“代数”，这种代数结构恰当地刻画了Monster群的moonshine模的构造.事实上，顶点算子代数的概念对应着共形场理论中的chiral代数的概念. 量子顶点代数是顶点代数和顶点超代数的自然推广. 为了对量子顶点代数的结构和表示理论有更深刻的理解，我们很自然地要在非局部顶点代数的研究中建立扭张量积理论. . 主要研究内容和取得的重要结果:(1)研究了非局部顶点代数的迭代扭张量积，得到了构造三个因子的迭代扭张量积的条件，并且证明了这些条件足够构造任意个因子的迭代扭张量积.我们还给出了迭代扭张量积的泛性质和刻画. (2)研究了Mobius扭张量积非局部顶点代数的扭张量积模. 我们构建了两个扭张量积contragredient模之间的同构. 进一步地，我们研究了迭代扭张量积非局部顶点代数上的迭代扭张量积模，并且给出了构造三个因子的迭代扭张量积模的条件. (3) 研究了非局部顶点代数的模的twistor，将扭张量积、迭代扭张量积、L-R-扭张量积等几种非局部顶点代数的模的构造统一起来. 进一步地，作为twistor的推广，我们还研究了(弱)pseudotwistor. (4)用顶点代数的方法研究了某种广义的Schrodinger-Virasoro代数，将这些李代数与顶点代数及其扭模联系起来. 另外，还研究了结合代数的模的twistor的概念和性质，将模的R-matrices构造、(迭代)扭张量积以及(迭代)L-R-扭张量积统一起来了. . 一方面，我们通过扭张量积理论来进一步深刻地研究量子顶点代数的结构，构造了更多有趣的量子顶点代数的具体例子；另一方面，我们通过扭张量积这一工具来研究了量子顶点代数丰富的表示理论.我们在这些重要的研究中取得了有价值的成果. 因此，系统而全面地研究非局部顶点代数的扭张量积理论确实具有非常重要的开创意义.