高维空间径向基函数拟插值算子构造方法及其应用

The project is mainly focused on the construction of quasi interpolation operator with radial basis function in high dimensional space and its application in data fitting, surface modeling and solving numerical solution of partial differential equations. Radial basis function as a generally applicable meshless method is currently a hotspot in the field of computer science and engineering, and much headway of its theory has been made. Quasi interpolation method of radial basis function can avoid solving large-scale linear equations and become one of the hot spots in the research of radial basis function method. The applicant has constructed a high accuracy quasi interpolation operator, and applied it to data fitting and solving numercial solution of partial differential equations, and achieved good results. At present, research on the quasi interpolation of radial basis function in high dimensional space is rarely. Motivated by preliminary works, members of this team will give in-deep study of the following problem. Firstly, according to local preconditioning on high dimensional data points, constructing quasi interpolation operator of radial basis function; Secondly, by using the maximum degree of polynomials regenerated by this opterator, we study the approximation accuracy of the presented quasi interpolation operator; Finally, quasi interpolation operators will be utilized in data fitting, surface modeling and solving numerical solution of partial differential equations.

本项目主要研究高维空间上径向基函数拟插值算子的构造方法及其在数据拟合、曲面造型和偏微分方程数值解中的应用。径向基函数方法作为一种普遍适用的无网格方法，是目前科学和工程计算领域研究的热点，相关理论研究已经获得长足发展。径向基函数拟插值方法由于能够避免求解大规模线性方程组，成为当今径向基函数方法的研究热点之一。申请人已经构造了一种一维空间上高精度径向基函数拟插值算子，并将其应用于数据拟合和偏微分方程数值解，取得了良好的效果。目前针对高维空间上径向基函数拟插值算子的研究还很少。在已有工作的基础上，本项目拟深入探讨如下问题，首先对高维空间数据点进行局部预处理，构造径向基函数拟插值算子；其次根据再生多项式的最高次数，研究所构造的拟插值算子的逼近精度；最后将所构造的拟插值算子有效应用于数据拟合、曲面造型和数值求解偏微分方程。

径向基函数方法作为一种普遍适用的无网格方法，是目前科学和工程计算领域研究的热点，相关理论研究已经获得长足发展。径向基函数拟插值方法由于能够避免求解大规模线性方程组，成为当今径向基函数方法的研究方向之一。目前针对高维空间上径向基函数拟插值算子的研究较少。本项目组以径向基函数为工具，利用其无网格特征，采用配置法求解伯格斯方程和电报方程，取得了较好的数值效果，并在该过程中尝试配置点的不同选取算法，探索拟插值形式下散乱配置点的分组规则。我们发现高维空间中径向基函数拟插值节点的选取较大依赖于其空间分布情况，较难构造统一形式的拟插值算子，因此结合项目组成员自身的研究优势以探求特殊分布点上的拟插值算子的构造方法。由于二维空间中规则分布点的拟插值构造与一循环矩阵相关，我们研究了此类矩阵的逆、范数等相关性质，得到了一些初步结果。项目组还探索了三维空间中点的分布情况与特殊结构上的四元数之间的关系，给出了此代数结构上最小二乘法则及算法过程。为了研究算子的精度，本项目组由多项式逼近的精度入手，结合Legendre正交多项式和Chebyshev正交多项式的性质，给出了Galerkin谱方法求解模型问题的数值离散格式，分析了相应误差估计。研究了多种类型的状态受限最优控制问题的谱方法分析，推演最优性条件，并且分析了其误差估计，精确的给出了误差上界对应常数的表达式。本项目主持人被遴选为“计算数学”方向主要学术带头人，并破格晋升为教授，参加本项目的主要成员均晋升至高级职称岗位。目前，本项目组主要成员主持国家自然科学基金青年项目2项、面上项目1项，主持山东省优秀中青年科学家科研奖励基金计划项目1项。本项目执行期间，发表学术论文21篇（SCI检索17篇,EI检索1篇），累计培养硕士研究生3人，指导多名本科生撰写与本项目研究内容相关的毕业论文。本项目组成员多次参加全国学术会议，以及在美国、希腊等举办的国际学术会议，并报告了相关的研究成果。