近似最优径向基函数插值的理论与算法研究

The approximation quality of interpolation using radial basis functions (RBF) depends on the distribution of interpolating knots, and the underlying interpolated function. The existing algorithms for selecting interpolating knots are usually independent of interpolated functions, and have no rigorous argument for optimization. The basic idea behind nonlinear approximation is that the functions used in the approximation do not come from a fixed linear space but are allowed to depend on the approximated function. We are motivated to develop theories and algorithms for near optimal RBF interpolation, and near optimal interpolating knots by using the nonlinear approximation theory and by exploring relationship between interpolating knots and the interpolated function. The research mainly consists of three topics: (1)proposing an appropriate distance between the interpolating-knot-related subspace and the optimal-m-term-approximant-related subspace, so that one can reduce the seclection of interpolating knots to a space approximation; (2)developing a greedy algorithm for solving the space approximation involving the interpolating-knot-related subspace and the optimal-m-term- approximant-related subspace, and studying the convergence rate of the algorithm; (3) studying the near optimization of interpolating knots generated by the greedy algorithm. This work will improve the performance of RBF interpolation in many areas such as machine learning, surface reconstruction, meshless methods for numerical partial differential equations, and so on.

径向基函数插值的逼近质量依赖于插值结点的分布及潜在的被插值函数。现有的结点选取算法大多不考虑被插值函数，且缺乏最优性的严格证明。非线性逼近的基本思想是用来逼近的函数不来自于一个固定的线性空间，且可以依赖于被逼近函数。这促使我们试图利用非线性逼近中的方法与工具，将插值结点的选取和被插值函数结合起来，研究近似最优径向基函数插值及近似最优插值结点的理论与算法。主要研究如下三个问题：（1）定义关联于结点集的子空间与关联于最优m项逼近的子空间的距离，以便将结点选取问题转化为空间逼近问题；（2）利用贪婪算法求解涉及关联于结点集的子空间与关联于最优m项逼近的子空间的空间逼近问题，并研究算法的收敛速率；（3）研究由贪婪算法所生成插值结点集的近似最优性。该项目的成功实施，将对机器学习、曲面重构以及无网格微分方程数值解等领域中径向基函数插值逼近性能的改善产生积极影响。

本项目基本按照研究计划执行，围绕近似最优径向基函数插值的理论、算法及应用开展研究工作。具体工作包括以下五个部分：.1. 利用非线性逼近中的思想，提出了基于径向基核函数的排序函数的一种近似最优逼近算法。该算法的主要特点是逼近函数不是来自于一个固定的假设空间，而是来自于由某些经验特征函数所生成的经验特征子空间。我们通过计算径向基核函数在数据结点集上的生成矩阵的特征值及特征向量，给出经验特征函数的计算方法。我们建立了该算法的显示表达，这使得算法有着计算上的优越性。理论分析表明，这种基于径向基核函数的排序函数逼近方法是一种近似最优的逼近算法。.2. 利用L1范数正则化，我们为排序函数提出了一种基于径向基核函数的近似最优稀疏逼近算法。通过计算径向基核函数在数据结点集上的生成矩阵的特征值及特征向量，我们给出了对应的经验特征函数的计算方法，并证明了经验特征函数的正交性。利用这种正交性，我们建立了逼近式的显示表达式，并分析了表达式系数的稀疏性。结果表明，这种排序函数的逼近式既具有近似最优性又具有较高的稀疏性。.3. 提出了一种新的基于Legendre多项式的数值微分逼近方法。为充分利用Legendre多项式的正交性，与以往Legendre多项式数值微分算法不同，新算法在一个加权L2空间中讨论数值微分问题。我们证明了新数值微分逼近算法具有更好的收敛速率。此外，数值实验也表明此算法十分有效的。.4. 我们提出了一种B样条拟插值EMD算法。通过构造B样条拟插值格式来近似极值包络，从而分解信号序列，得到了一种B样条拟插值EMD算法。我们将此类EMD算法用于十多个物种的外显子序列的相似性分析。与经典的EMD算法比较，B样条拟插值EMD算法更便于在计算机上实现，在分析短序列的相似性时具有更强的优势。.5. 我们推广了经典的Shannon采样定理，给出了一种基于Sinc核函数帕德逼近的采样公式。Sinc核函数在无穷远处的缓慢衰减性使得采样级数在实际应用中有着诸多不便。我们选取Sinc核函数的帕德逼近作为收敛因子，这既保持了Sinc核函数在零点的性质，又加快了相应采样级数的收敛速度。大量数值实验表明，这种基于Sinc核函数帕德逼近的插值格式可以达到很高的逼近精度。.共发表论文7篇，其中SCI检索4篇， EI检索2篇。项目组参加国内外学术会议5 人次，出国（境）学术访问3人次。培养硕士研究生4名。