线性泛函信息拟插值的构造理论及其应用

Quasi-interpolation is a basic scheme for function approximation. However, the classical quasi-interpolation and its related works face some limitations: they are usually used in dealing with approximation problems for uni-variate centers or multivariate grids and thus can not deal with multivariate scattered data approximation efficiently; studies on shape-preserving properties of quasi-interpolation only restricts to non-negativity, monotonicity and convexity, rarely on generalized convexity; meshfree schemes based on quasi-interpolation often using high-order derivatives of the quasi-interpolation to approximate corresponding derivatives in the differentiation equations, this in turn not only requires the quasi-interpolation has high approximation orders and strong smoothness conditions, but also leading to solutions with lower approximation orders. To circumvent the above limitations, one has to construct quasi-interpolation based on the characteristics of the sampling data via the data-driven approach. Moreover, data-driven construction of approximation algorithms is also the hot issue in data science. We have done some works on this topic. Since the sampling data in most approximation problems can be viewed as linear functional data, based on our previous works, this project shall focus on theories of constructing quasi-interpolation for linear functional data and studying its applications. It mainly consists of three parts: constructing quasi-interpolation for linear functional data and studying its convergence order and generalized shape-preserving properties, constructing high-order numerical differentiation and numerical solution of differentiation equations based on quasi-interpolation for linear functional data.

拟插值是一种基本的函数逼近方法。然而，经典拟插值和现有的研究工作也面临一些问题：通常用于处理采样数据是一元或多元规则数据的逼近问题，不能有效地处理多元散乱数据的逼近问题；对保形性研究往往只限于非负性、单调性和凸性，很少研究广义保形性；基于拟插值的微分方程数值解通常用拟插值的高阶导数直接逼近方程的高阶导数，这不仅要求拟插值具有较高的逼近阶和光滑性，而且还导致数值解的逼近阶较低。解决以上问题，需要根据数据自身的特点采用数据驱动的方法构造拟插值。这也是当前数据科学领域研究的热点问题。申请人及其团队前期已在这个方向取得了部分研究成果。由于大多数逼近问题中的数据都可以看成线性泛函信息。因此，在前期工作的基础上，本项目将研究线性泛函信息拟插值的构造理论及其应用。主要包括：构造线性泛函信息拟插值并研究其收敛阶及广义保形性，构造基于线性泛函信息拟插值的高精度数值微分及微分方程数值解。

数智时代，数据已成为最基本的一个“生产要素”，如何让数据发挥最大“生产力”功能是当前数据科学领域研究的焦点问题。 拟插值，作为一种基本的数据拟合方法，被广泛的应用到数据科学的各个领域。为使拟插值能够更广泛、更有效的处理数据拟合问题，项目在前期工作的基础上研究: 线性泛函信息拟插值的构造理论，线性泛函信息拟插值的广义保形性，逼近高阶导数的拟插值迭代算法，基于线性泛函信息拟插值的高精度微分方程数值解。通过本项目的研究取得以下成果: 1. 在概率数值逼近的框架下研究多元不规则数据的随机拟插值算法的构造理论并讨论其统计特性以及在不确定量化领域的应用。通过把概率统计思想引入到拟插值中，不仅构造出一种有效的处理不确定性数据的随机拟插值算法，填补了经典拟插值不能有效处理不确定性数据的缺口，夯实了拟插值的理论基础. 而且，还可以从统计的角度刻画拟插值的统计性质，进而刻划出不确定性对计算结果的影响，为拟插值在不确定量化领域的应用打下基础，拓宽了拟插值的应用领域； 2. 把数据驱动的思想引入到拟插值中，构造出一系列保持数据内部结构的拟插值算法。针对几种较为广泛的数据结构（周期性、各向同性、散度无关性、旋度无关性等），构造出相应的拟插值格式并研究了其在无网格微分方程数辛算法中的应用. 不仅夯实了拟插值的理论基础，为构造其它数据驱动的拟插值算法提供思想引导，也拓宽了拟插值在微分方程数值解中的应用范围； 3. 构造出基于迭代拟插值的高精度数值微分方法。分别从高阶核函数和迭代拟插值角度构造出高精度拟插值方法，为高精度数值计算领域提供一类有效算法； 4. 构造出基于拟插值的非参数核密度估计算法。结合拟插值和直方图方法，构造出一类能够有效处理边界问题的核密度估计算法，为拟插值在统计计算领域开辟一种新思路；5. 构造出基于向量值数据的散度-旋度无关拟插值算法。通过构造散度-旋度无关核函数，构造出向量值数据的拟插值方法，为拟插值在向量场分解、向量值函数逼近领域提供理论依据和算法。 以上理论和应该结果不仅拓宽经典拟插值理论和应用, 而且还开拓了把经典逼近理论与概率统计理论结合的概率数值逼近算法的构造思想和理论。