径向基函数插值中心的自适应选取方法研究

科学计算中，往往需要分析实验所得大规模数据，这些数据全部处理是不现实不经济的。此时人们一方面希望能够在保证精确度的前提下处理尽量少的数据；一方面希望能够通过处理同样规模的数据而得到尽量高的精确度。这就需要能够实现数据组的最优选择。本项目旨在深入学习径向基函数理论的基础上系统研究径向基方法中节点集的自适应选取算法。与目前已有选点方法不同的是：我们不仅要考虑节点集本身的分布，还要同时考虑节点处函数值情况（即数据点的具体分布情况）对算法的影响。本项目拟采用带权Leja-Bos点集等方法选点，其关键问题分析并确定各因素对径向基函数方法精度和稳定性的影响力的平衡关系。此问题的解决不仅能够为不同散乱数据自适应地选择出最优的径向基中心点集，完善径向基函数理论；还可以提高对大规模数据的科学计算能力，并为基于径向基方法的自适应算法设计及软件开发奠定理论基础。

科学计算中，往往需要分析实验所得的大规模数据，这些数据全部处理是不现实不经济的。此时人们一方面希望能够在保证精确度的前提下处理尽量少的数据；一方面希望能够通过处理同样规模数据而得到更高的精度。这就需要能够实现数据组的最优选择。本项目旨在深入学习径向基函数理论的基础上系统研究径向基方法中节点集的自适应选取算法。与目前已有选点方法不同的是：我们不仅要考虑节点集本身的分布，还要同时考虑节点处函数值情况（即数据点的具体分布情况）对算法的影响。本项目拟采用带权Leja-Bos点集等方法选点。其关键问题是分析并确定各因素对径向基函数方法精度和稳定性的影响力的平衡关系。此问题的解决不仅能够为不同散乱数据自适应地选取最优的径向基中心点集，完善径向基函数理论；还可以提高对大规模数据的科学计算能力，并为基于径向基方法的自适应算法设计及软件开发奠定理论基础。. 经过课题组的研究，我们认为影响径向基插值精度的最主要因素有点集分布、被插值数据特征、径向基函数的形状参数三个要素。其敏感性最高的因素是点集分布情况，形状参数次之，被插值数据特征的影响相对要弱一些。目前对最优形状参数的选取有很多研究，已经有了很多相关结论。由于目前关于形状参数的选取方法大都基于点集分布的几何特征。所以我们选取点集分布和被插值函数特征为主要影响因素，然后由点集分布特征确定最优几何参数。. 经过一段时间的研究，结合被插值数据和点集分布特征确实能够使精度提高，但是没有能够确定一个较好的通用点集选取方法。寻找原因我们认为，在区间上进行径向基插值的时候，最大误差总是出现在区间两个端点附近（如图1），而且区间内部误差远远好于两个端点处误差。所以在这种情况下，不同点集下误差的改善只能反映区间端点处的局部情况，而对处于主要部分的区间内部情况不能说明问题。所以为了使研究结果更有意义，我们对研究内容作了一些调整，首先要寻找一个方法能够有效地消除或者规避上述的情况。