脉冲型可微变分不等式的理论及应用研究

Based on the theories, methods and techniques of impulsive differential inclusions, variational inequalities and nonlinear analysis, the theories, algorithms and applications in insurance of differential variational inequalities with impulse will be studied in this project. The central research locates in the following three aspects: (1) We will study the existence of weak solution for differential variational inequalities with impulse and consider the sufficient conditions for the absence of Zeno phenomenon; (2) For solving differential inequalities with impulse, we will design convergent time-stepping approximation algorithms and give numerical simulation results for error bounds of approximation solutions by applying the techniques of efficient algorithms of differential variational inequalities and two-sided impulse control systems; (3) As applications, we will study the equivalence beween the two-sided impulse control models of mutual insurance problems in the financial field and differential variational inequalities with impulse, and focus on the existence of optimal two-band control function. For solving the optimal two-band control policy, we will design time-stepping algorithms based on the splitting methods, prove its convergence and present numerical simulation results. The sensitivity results of optimal two-band control policy will also be investigated. The results of this project will not only enrich and develop the theories, methods, techniques and algorithms of differential variational inequalities, but also provide the theoretical support and helpful guidance for the research on many practical issues from logistics management, finance engineering, life science and decision analysis.

本项目以脉冲微分包含、变分不等式和非线性分析的理论、方法和技巧为基础，研究脉冲型可微变分不等式的理论、算法及其在保险中的应用。我们的目的是（1）获得脉冲型可微变分不等式解的存在性以及非Zeno现象的充分性条件；（2）利用可微变分不等式和双边脉冲控制的有效算法技巧，为求解脉冲型可微变分不等式设计收敛的时间步长算法，并对逼近解的误差界进行数值模拟；（3）应用上，我们将研究金融领域中互助保险问题的双边脉冲控制模型与脉冲型可微变分不等式的等价性，讨论该问题最优双带控制函数的存在性，为求解最优双带控制策略设计基于分割算法的时间步长算法，研究算法的收敛性并模拟数值结果，获得最优双带控制策略的灵敏性结果。本项目的研究不仅可以丰富和发展可微变分不等式的理论、方法、技巧和算法，具有重要的理论意义；而且也可为大量产生于物流管理、金融工程、生命科学以及决策分析中的一些实际问题的研究提供理论依据和有益参考。

可微变分不等式问题是运筹学中近年新兴发展起来的重要研究方向之一，它与物流管理、金融保险、交通网络、机械摩擦以及能源技术等许多领域中大量的现实控制问题都有着紧密的联系，其研究尚处于起步阶段。另一方面，脉冲微分方程可以描述人口动力、生物技术、药物动力、金融市场、神经网络和脉冲控制等诸多领域中的现象或规律。因此，脉冲型可微变分不等式问题的研究是一个重要的研究课题。. 本项目利用脉冲微分包含、变分不等式和非线性分析的理论与方法，研究了脉冲型可微变分不等式的相关理论、算法及其应用。本项目获得了脉冲微分包含解的存在性，并利用该存在性理论得到了一类脉冲型可微变分不等式解的存在性与唯一性结果；为求解脉冲型可微变分不等式问题，我们给出了与时间相依赖的离散Euler逼近算法，并利用脉冲微分包含的离散逼近算法证明了算法的收敛性；研究了脉冲型可微变分不等式关于初始值以及含参变量的扰动分析，获得了稳定性结果。本项目对可微逆变分不等式以及可微逆混合变分不等式等问题也进行了研究，获得了解的存在性以及在与时间相依赖的空间价格均衡控制问题中的应用结果。在经济优化问题中的应用方面，我们获得了半凸前沿优化问题的最优性条件和解集的稳定性结果。在本项目的资助下，我们已经在国内外的一些知名学术刊物上发表SCI收录论文4篇，其他相关论文也正在整理完善中；参加了全国性或国际性的重要学术会议5次并作学术报告，加强了与国内外优化同行的学术交流。本项目的研究完成了任务书中所提出的研究内容，达到了预期目标。. 本项目的研究结果不仅具有重要的理论意义；而且也可为大量产生于物流管理、市场均衡、金融保险、再生资源开发以及决策分析中的一些实际应用问题的研究提供理论依据，对提高我国的国际竞争力和社会经济的发展也有重要的现实意义。