圆填充及若干相关问题研究

作为共形映射离散模拟的圆填充(circle packings)在复分析和离散微分几何的交叉学科中是当今一个快速发展的研究领域，在数值计算和图像处理等方面有着重要的应用。本项目拟研究：(1)各种几何上圆填充的存在性与唯一性（或刚性）；（2）圆填充的算法；（3）离散可积系统的分类与Cauchy问题；（4）复分析中经典问题的圆填充离散逼近；（5）偏微分方程的离散解与几何图形的离散逼近。 .本项目的创新之处：利用Mobius不变量，Ricci流，进化策略以及离散可积系统等工具，解决圆填充理论中的重要问题；并将圆填充研究中的新成果应用于解决复分析、微分几何与偏微分方程等中的离散化问题。

作为共形映射离散模拟的圆填充(circle packings)在复分析和离散微分几何的交叉学科中是当今一个快速发展的研究领域，在数值计算和图像处理等方面有着重要的应用。本项目完成了如下研究工作：(1)给出了圆填充的存在性与唯一性（或刚性）的不同证明方法，包括环绕数法、能量函数方法和Mobius不变量方法等；（2）讨论了解析函数、拟共形映射和共形粘合等的圆填充离散逼近；（3）用圆模式和有限体积方法建立了Poisson方程的Dirichlet问题的离散解,证明了该离散解收敛于相应的准确解；给出了半圆域内的二维线性椭圆偏微分方程的解的积分表达式；（4）讨论了离散可积系统的相容性及其相关性质；（5）讨论了圆填充的算法、随机Leowner演变(SLE)和一些相关问题。. 本项目研究工作有着重要的理论意义和应用价值。一方面，丰富了圆填充理论的内容，同时，也为它们在复分析和偏微分方程分等方面的应用了提供理论基础；另一方面，应用圆填充(或圆模式)技术，解决了离散近似解析函数、拟共形映射、共形粘合与Poisson方程的Dirichlet 问题的解等问题，这为其数值计算提供了一种新的理论依据和方法。.