可压缩Navier-Stokes方程及其相关模型的真空问题

The compressible Navier-Stokes(CNS) equations describles the motion of viscous fluid, such as compressible fluid dynamics with heat-conduction, hydrodynamic model, etc. The study for CNS equations has important value in theory and application. In this project we prove the uniquness of strong/classical solution to the polytropic fluids with vacuum in two dimension, including the case of density-dependent viscosity. Additionally, we also consider the related models such as the compressible MHD equations.

可压缩Navier-Stokes方程（简记为CNS）描述了粘性可压缩流体的不稳定运动规律，是当前非线性偏微分方程中最热门的前沿领域之一。自然界中大量的流体模型, 如具有热传导效应的流体动力学模型, 磁流体动力学模型, 其主部均为 Navier-Stokes 方程。对CNS方程的研究具有重要的数学理论及应用价值。其含真空解的存在唯一性是该理论的基本问题之一，对理解CNS方程解的性质具有重要意义。本课题主要考虑含真空状态下可压缩Navier-Stokes方程及其相关模型强解和古典解的存在唯一性问题,特别是在二维空间下，考虑非等熵可压缩Navier-Stokes方程以及一些相关方程，如可压缩MHD方程的Cauchy问题强解和古典解的存在唯一性。

可压缩Navier-Stokes方程描述了运动可压流体的不稳定运动规律，有极强的物理背景。本课题中，我们重点研究了该方程组强解/古典解的存在性和长时间性质等问题。我们的研究成果集中体现在两个方面：一、在允许初始真空存在的条件下，采用初始密度加权的办法，证明了二维全空间的等熵方程和非等熵方程强解的局部存在唯一性。该研究填补了该类方程在这一问题上的理论空白，研究成果已经在本专业有较高声誉度的杂志 JMPA、 JDE 发表。二、对于初始密度远离真空的可压缩Navier-Stokes方程，在一维无界域空间下，成果证明了方程解的某些关键的一致估计，在此基础上，详细论证了强解的长时间性质。这一研究成果也已经在本专业知名期刊ARMA发表。