可压缩流体及相关方程组中的真空自由界面问题

This research project deals with free boundary problems with the interfaces separating the fluids and vacuum for some systems of PDEs arising in fluid dynamics and general relativistic fluids. The main purpose is to develop some new analytic and geometric methods for free boundary problems of multi-dimensional degenerate hyperbolic, hyperbolic-parabolic and hyperbolic-elliptic equations 1) to capture the physical singularity at the vacuum boundary, 2) to elucidate the role of the heat-conductivity, gravitation and magnetic fields to the well-posedness and qualitative behavior of solutions for the vacuum free boundary problems; 3) to establish the well-posedness for the vacuum free boundary problem for spherical symmetric solutions of general relativistic fluids.. Fluid free boundary problems arise in many physical, medical, and engineering models, for example, shape of stars, multi-phase flow, reacting flow, biomedical modeling such as cell deformation and etc. The study of free boundary problems in fluids has been a very challenging and hot topic. The analytic and geometric ideas and methods to be developed in this project will be useful to other related problems arising in physics, chemistry, biology and engineering.. and will contribute to a general theory of degenerate hyperbolic, coupled hyperbolic-parabolic and hyperbolic-elliptic free boundary problems.

在此项目中，我们将研究可压缩流体力学`和广义相对论流体偏微分方程组的流体和真空的自由界面问题。其主要目的是为高维退化双曲型，退化双曲-抛物型，退化双曲-椭圆型方程组的自由边值问题发展一些新的分析和几何方法以实现以下目的：1）刻画真空边界的物理奇性，2）阐明热传导，引力，磁场等对真空自由边值问题的适定性和解的定性行为的影响， 3）建立广义相对论流体偏微分方程组真空自由边值问题的球对称解的适定性理论。.流体自由边值问题来源于许多物理，医学及工程学中的模型，例如，星体的形状，多相流，反应流，生物医学中的细胞形变等。关于流体自由边值问题的研究一直是极具挑战和热门的课题。在本项目中发展的分析和几何方法将会在物理，化学，生物，工程中的相关问题的研究起作用， 并高维退化双曲型，退化双曲-抛物型，退化双曲-椭圆型方程组的自由边值问题的一般理论有所贡献。

出现在许多重要的物理情形的流体力学方程自由边界问题一直是非线性偏微分方程理论和实际应用中极具挑战性的重要课题，对于不可压缩及不含真空的可压缩 Euler方程自由边值问题，其适定性理论近十多年取得突破性进展。而对于可压流体真空自由界面问题，由于方程在真空态附近的高度退化，问题的适定性研究十分困难， 严格数学理论结果甚少。对于具有重要理论和实际意义的物理真空自由界面问题，局部适定性问题在2009-2015年间才获得较为满意地解决。而这些局部存在性结果在一含有极高导数项的能量泛函空间中获得，解的唯一性在比存在性的泛函空间更光滑的函数空间中得到。对一般三维可压缩无粘流体方程的物理真空自由界面问题，项目主持人及合作者在一般的可定义古典解的函数空间里证明了解的唯一性，并对球对称运动在新的泛函空间内建立了局部适定性。..磁场对于流体自由边界问题适定性及稳定性的影响在非线性偏微分方程理论和实际应用都十分重要。在粘性流体方程研究中已有很多重要结果，然而对于无粘流体，由于缺乏粘性所起到的对解的光滑化作用， 问题变得更为困难。 项目主持人及其合作者利用一类几何方法结合非线性偏微分方程先验估计技巧确定了一类稳定性条件。并给出了关于解的Sobolev 范数和自由界面的第二基本形式的上界和单射半径下界的先验估计。 ..非线性波方程在广义相对论， 流体力学及弹性力学中都有十分重要的应用。非线性波方程大初值问题在非线性偏微分方程理论研究中十分重要而困难。对于一类半线性波方程，在非线性项满足一定的条件下， 项目参与人于品及其合作者证明了一类大初值Cauchy问题整体解的存在性。三维双曲方程的激波形成问题是一十分重要但非常困难的问题。对于三维无旋可压缩Euler方程，最近的突破性进展由Christodoulou-Miao 等人获得，然而这一结果近适合于一类小初值。 对于一类三维拟线性二阶波方程，项目参与人于品及其合作者证明了一类大初值Cauchy问题在有限时间形成激波。 ..以上所获研究结果在非线性偏微分方程， 流体力学及广义相对论数学理论研究中十分重要。