带真空的可压缩Navier-Stokes方程解的存在性

流体和我们生活的世界息息相关，如海洋中的潜水波，大气层里的空气。它们的运动展示了一系列独特的现象，从光滑的流动到湍流的产生，都是人们关心的问题。人们一般认为湍流的出现和光滑解的爆破密切相关。对可压缩流体而言，由于真空的退化现象使得光滑解的性质变得更加复杂。基于此，Navier-Stokes方程组光滑解的存在性与爆破行为一直是研究的热门课题。另外在实际应用中，往往是多种流体的混合及相互作用。我们将研究1）高维可压缩等熵 Navier-Stokes方程含真空的一般初值问题（"大扰动"）。2）高维可压缩Full Navier-Stokes方程含真空的一般初值问题。3)多种流体混合模型的可压缩Navier-Stokes方程解的存在性。相关结果的研究具有重要的数学理论和应用价值。

我们主要做了以下结果：(1)为等熵可压缩、完全可压缩Navier-Stokes方程、可压缩热传导磁流体MHD方程的光滑解建立了统一的物理爆破机制，该准则和不可压缩Navier-Stokes方程的Serrin型准则类似,即由密度上界和速度场的Serrin模控制光滑解的爆破。作为Serrin准则的一个简单推论，我们对完全可压缩Navier-Stokes方程组，证明了Nash猜想。由于爆破机制和温度无关，在这个意义上，我们进一步得到了比Nash猜想更强的结果。(2)仅要求速度场在临界空间小，允许密度大扰动的情况下得到了三维非齐次不可压缩Navier-Stokes方程含真空的整体光滑解。同时得到了二维变粘性系数非齐次不可压Navier-Stokes方程含真空的整体光滑小解以及二维含真空的非齐次不可压磁流体MHD方程任意大初值的整体光滑解。