非线性退化抛物方程的高阶数值格式

In this program, we want to design high order numerical schemes for nonlinear degenerate parabolic equations. The finite difference method and the A-stable kernel based integral method will be considered. Moreover, the schemes are well designed such that they can capture sharp gradients of the solution without producing spurious oscillations. This program mainly contains three parts:.1. For the finite difference method, we will construct a new numerical flux to discrete the mixed derivative directly. A main advantage is that a narrower effective stencil will be used. .2. For the kernel based integral method, we will design a new formula, such that the scheme can maintain A-stable with a special parameter and the parameter has a larger effective area. And we will extend the new method to solve problems with non-periodic boundary conditions..3. Design nonlinear scheme for both methods, in order to solve the degenerate parabolic equations accurately without generating noticeable spurious oscillations.

本项目主要针对具有一般形式的非线形退化抛物问题设计高效稳定的高阶数值格式。这里，我们考虑使用有限差分方法和具有无条件稳定性的积分近似方法。同时希望格式在退化问题的大形变解附近无数值震荡。本项目主要有以下三个方面的工作：.1. 针对有限差分格式，设计新型数值流通量，用于直接离散混合导数。相比传统差分格式，我们希望新方法可以使用较窄的模板，进而减小数值误差。.2. 针对积分近似方法，设计新的积分形式离散空间导数，除具备无条件稳定的性质，希望新方法有更宽泛的变量选取范围。另外，我们还希望将此方法推广至非周期边界问题。.3. 针对有限差分方法和积分近似方法，设计非线性格式，以避免大变形激波解附近的数值震荡。

本项目主要考虑非线性退化抛物方程。该方程可能在某些情况下退化为一个双曲守恒律问题。因此，退化抛物问题具有和双曲守恒律类似的性质，例如，解可能没有好的正则性，会产生间断或者明显的前缘，波的传播为有限的速度等。本项目针对该问题，构造高精度、高分辨率、稳定、无数值振荡的数值方法。主要工作有：.1. 设计了新型高精度有限差分加权本质无振荡（WENO）格式。将数值流通量写成半格点处的奇数阶导数求和的形式，并结合多分辨率的有限差分WENO格式进行插值近似，使得算法权重可以为满足条件的任意正数，因此无需额外的分裂和映射，减少计算量；算法具有一般性，容易推广到任意阶。.2. 构造了新型显式无条件稳定的积分近似方法。分别针对可退化的对流扩散方程和具有混合导数的抛物方法，构建了新型的基于核函数的积分表达式逼近空间导数。与显式龙格-库塔方法相结合，通过调节积分项中的参数\beta，使得格式满足无条件稳定，并给出理论证明；另外，设计了WENO积分以避免数值振荡。.3. 构造了无振荡的局部间断Galerkin有限元（OFLDG）方法。对LDG格式增加非线性阻尼项，使得算法可以自动满足：在光滑解附近保持高阶精度，同时，在大形变附近无数值振荡。理论证明和数值验证了其L^2稳定性和最优误差估计。.4. 开展了非周期边界问题数值格式的研究工作。构建了新型ILW方法近似边界附近虚拟点值，以处理对流扩散方程的动边界问题；构造了统一的格式，使其对纯对流、对流占优、扩散占优、纯扩散情况均适用。