基于能量变分方法数值求解两类非线性非局部退化抛物方程

Nonlinear nonlocal degenerate parabolic equations have been widely applied to complex physical and biological phenomena. Developing a highly effective numerical method for the equations is fundamental to the understanding of these relevant phenomena. In this project, we consider two specific problems: aggregation-diffusion equation and flux limited porous media equation. There are the following characteristics: the nonlinear mobility in the equation, the potential waiting time and the solution with singularity, including blow up in a finite time, the steady solution with a compact support and the entropy solution with discontinuity fronts, which make the problem not easy to handle. Based on an Energetic Variational Approach, we derive the trajectory equation and establish the energy stable scheme by a convex splitting method. Meanwhile, the unique solvability (on a convex set) and the energy decay property (in time) will justified at a theoretical level. The advantages of the numerical method are the physical laws (the conservation of mass, energy dissipation and force balance) can be kept spontaneously, and the nonlinear mobility can be handled naturally. As a problem-driven research, this project provides a powerful numerical method to solve nonlinear degenerate parabolic equations. It will have important theoretical significance and practical value.

非线性非局部退化抛物方程广泛运用于描述复杂的物理生物现象。设计高效的数值算法求解此类方程对正确认识相关现象具有重要意义。本项目中讨论两类具体方程：聚集扩散方程和通量受限多孔介质方程。问题的基本困难特征是：方程迁移系数的非线性性，可能出现的等待时间现象以及解具有奇异性，包括在有限时间内爆破，带有支集的稳态解，具有间断前沿的熵解。我们基于能量变分方法导出轨迹方程，利用凸分裂技术建立能量稳定的数值格式，并证明数值格式的唯一可解性以及满足离散能量耗散法则。算法的优势在于不仅在离散系统下自然满足物理规律（质量守恒、能量耗散和力平衡），而且可以自然地处理带有非线性迁移系数的方程。该项目是科学问题驱动的计算数学研究，为非线性退化抛物方程的研究提供有力的数值方法，具有重要的理论意义和实用价值。

本项目基于能量变分法数值求解两类经典的非线性非局部退化抛物方程，即带有非局部项的非线性 Fokker-Planck 方程及多孔介质型通量受限方程。此类方程广泛应用于复杂物理生物系统，且因其退化性质，解会带有支集、有限传播速度、等待时间、间断前沿以及在有限时间内解发生爆破等情况。. 算法的优势在于数值解在离散系统下自然满足一定的物理规律，包括质量守恒、能量耗散和力平衡。尤其针对退化问题，算法有显著优点，包括得到带支集的稳定（即没有非物理振荡）的数值解、有效求解有限传播速度和带有间断前沿的解以及等待时间。此外，带有支集解和等待时间在数值上给出其对应收敛阶。当解在有限时间内爆破，数值解以机器精度逼近 Dirac Delta 函数.. 此外，在理论分析方面，证明了数值格式的存在唯一性、满足离散能量耗散法则并给出最优收敛阶的证明。由于轨迹方程扩散项的系数是高度非线性的，涉及到许多非标准估计。因此在收敛性分析中，采用了高阶渐近展开技术和两步估计方法。. 该项目是科学问题驱动的计算数学研究，为非局部非线性退化抛物方程的研究提供有效的数值方法。数值算法还可以运用到半导体设备、超级电容、基因突变和种群分布等物理生物现象，具有重要的理论意义和实用价值。