Ricci曲率有界流形的几何与拓扑

This proposal is concerned with the geometry and topology of manifold with bounded or lower bounded Ricci curvature. It contains three parts: the diffeomorphic rigidity under lower bounded Ricci curvature, the existence of collapsed structure on manifolds of bounded Ricci curvature, the fundamental group of manifolds of nonnegative Ricci curvature. In the first part, we study the rigidity of local rewinding volume, which describes the geometry of M by rewinding the local neighborhood on M through small loops. This kind of rigidity covers earlier known rigidity theorems proved by Cheeger-Colding and Chen-Rong-Xu under different settings. In the second part, we study the existence of Cheeger-Fukaya-Gromov’s nilpotent Killing structure on collapsed manifold with bounded or lower bounded Ricci curvature. In the last part, we study the restriction of fundamental groups put by nonnegative Ricci curvature, and the special case of two long-standing conjectures on the fundamental groups where the universal (or local) cover spaces are non-collapsed. This topic roots back in several branches in modern differential geometry and geometrical analysis, such as Cheeger-Colding’ theory, isometric Lie group action and equivariant convergence, Ricci flow, etc. It is likely that the topic may lead to new useful tools in studying Riemannian manifolds under lower Ricci curvature bound.

本项目计划研究Ricci曲率有界或只有下界流形的几何与拓扑。研究内容主要有三方面：Ricci曲率有下界流形的刚性、Ricci曲率有界流形的坍缩、非负Ricci曲率流形的基本群。在第一部分，我们拟研究极大回卷体积的微分同胚刚性，其中回卷体积是利用小回路生成的基本群子群将流形局部进行展开后的体积。该刚性问题涵盖了Cheeger-Colding和申请人与合作者在不同曲率条件下分别证明的刚性定理。在第二部分，我们研究Ricci曲率有界或有下界时流形上Cheeger-Fukaya-Gromov坍缩结构的存在性。在第三部分，我们将围绕两个长久以来悬而未决的著名猜想，研究非负Ricci曲率对于基本群的限制，试图解决两个猜想在万有覆叠非坍缩时的特殊情形。该课题涉及Cheeger-Colding理论、李群的等距作用与等变收敛、Ricci流等领域。我们希望在该课题的推动下能够将这些技术结合发展出新工具。

流形的曲率与几何拓扑之间的关系，是现代微分几何中的核心课题之一。本项目研究了Ricci曲率有界或只有下界流形的几何与拓扑，研究内容主要分为三方面：Ricci曲率有下界流形的刚性、Ricci曲率有界流形的收敛与塌缩、Ricci曲率有界流形的基本群。在第一部分，我们得到了Ricci曲率有下界流形关于体积量的刚性定理，以及Ricci曲率有负下界的RCD空间，和积分Ricci曲率有负下界流形的体积熵刚性定理。在正Ricci曲率下界时，证明了局部回卷体积几乎极大，万有覆叠非塌缩流形的（非单连通的）空间形式刚性定理，从而改进了Perelman-Cheeger-Colding的微分球定理。对于负Ricci曲率下界时，我们证明了体积熵几乎极大的量化刚性定理，得到了正Ricci曲率微分球定理所对应的双曲情况。同时，我们也解决了Ricci曲率在比较意义下有下界的奇异RCD度量空间，以及比Ricci曲率有下界条件更弱的积分Ricci曲率有下界流形的体积熵量化刚性问题。在第二部分，对于Ricci曲率双边有界流形，我们证明，其上存在Cheeger-Fukaya-Gromov塌缩结构，当且仅当流形的正交标架丛具有Ricci曲率有界的提升度量，且其局部覆叠几何一致有界。同时，我们将Cheeger-Gromov和Anderson著名的收敛性定理，以及Fukaya关于截面曲率有界流形极限的正则性，延拓到了Ricci曲率双边有界，且局部覆叠几何一致有界的流形极限上。对于Ricci曲率只有下界的流形，我们证明，当流形的整体覆叠几何一致有界时，Cheeger-Fukaya-Gromov的幂零塌缩结构存在。特别的，我们得到Gromov著名的几乎平坦流形定理在Ricci曲率条件下成立的充分必要条件。在第三部分，我们建立了Ricci曲率有下界流形上（非完备）开区域的Gromov-Hausdorff预紧性原理，证明：Ricci曲率有下界流形的任何r-球，其上的(r,R)-相对正规覆叠，即其在同心 R-球万有覆叠空间中原像的连通分支（R>r>0)，在Gromov-Hausdorff拓扑下是预紧的。这一原理为继续研究非负Ricci曲率流形的基本群提供了新工具。例如，可以得到“Ricci曲率有下界流形的极限空间是局部半单连通”这一新结果的简单证明。