黎曼流形上的Ricci Soliton及几何结构研究

The purpose of this project is to study the Riemannian manifolds with special geometrical structures. That is, we treat the Ricci soliton and the static equation in an unified way. Main concents of this project is the following: 1) Under some assumptions, we study some rigidity results for compact Riemannian manifolds with such geometrical structures; 2) We study growth rate for complete Riemannian manifolds with such geometrical structures; 3) Classifications of Kahler manifolds with such geometrical structures will be given; 4) We also study submanifolds with such geometrical structures and give classifications on geometry.

本项目拟研究具有特殊几何结构的黎曼流形，即把Ricci Soliton方程与Static空间方程统一起来研究，主要研究内容如下：1）研究具有此结构的紧致黎曼流形，在一定的条件下，得到刚性结果；2）研究具有此结构的完备黎曼流形，研究位势函数的增长行为；3）研究具有此结构的Kahler流形，给出分类；4）研究具有此结构的子流形，给出几何刻画。

我们把Ricci almost soliton方程、static方程、critical point方程统一起来: 即考虑了方程f_{ij}=f^pR_{ij}+\lambda g_{ij}的分类问题，借助于Ricci soliton方程的研究思路，给出了Cotton张量，Weyl曲率张量之间的关系式，得到了一些刚性结果。特别的，得到了对于n=3, 若Cotton张量的散度是零，则有Cotton张量必为零。另外，还考虑了generalized quasi-Einstein manifold的分类，得到了一些刚性结果。在\infinite-Bakry Emery Ricci曲率条件下, 得到了有关f-Laplacian第一特征值的De Lellis Topping不等式，这推广了Wu[Geom Dedicata 2014]的结果。另外，还考虑了完备非紧致黎曼流形上具有调和曲率的刚性结果，给出了流形是Einstein以及常曲率空间的条件。近来，考虑了非线性椭圆方程\Delta u+cu^{\alpha}=0的正解的梯度估计，当n\geq13, 此结果推广了Li[J Funct Anal 1991]的结果。此结果发表在Proc AMS上。