张量状态空间分解的理论及应用研究

In this project, the entries of a tensor with prior knowledge about complex variable interaction and/or its variation trends, various data alphabets, or noise distributions are described as state equations by means of Markov processes. When the known tensor descomposition models are taken as the measurement equations, the state space models of tensor descompositions with the two equations are constructed. Since our new models incorporating the prior knowledge of the entries of a tensor take the matrixes as random variables, the matrix variate distributions will be employed to research and develop the filtering theories of Kalman, particle, Bayes, and the probability hypothesis density so that the computing methods required by the new models can be supplied. Based on our new models and the multidimensional construct information of a tensor, the methods for the mode-R tensor compressed sensing, data compression, and array signal processing will be investigated. To explore the possibility and feasibility of the tensor models incorporating the prior knowledge of the geometric structures, such as the orthogonal geometry relationships among components of an electromagnetic wave signals and/or the geometric structure of an array, the geometric algebra tensor will also be developed. It is expected that some new insights into the phenomena of applications can be found and the corresponding signal processing methods can be summarized.

本课题旨在将张量元素存在的相互作用、变化规律、具有的各种数据格式和/或噪声分布等先验知识，借助于马尔科夫过程将它们描述成状态方程，并将其与张量分解模型联系起来，从而建立起张量状态空间分解的模型。由于这种结合问题先验知识张量分解的新模型，是以矩阵作为随机变量的。因此需要研究基于矩阵随机分布的理论，来发展卡尔曼、粒子、贝叶斯和概率假设密度滤波的相关理论，以便为张量状态空间分解的新模型提供计算手段。在此基础上，利用张量的多维结构信息，开展与模R张量压缩感知、模R张量数据压缩和模R阵列处理有关的应用基础研究；以及探索将数学对象—电磁波信号及其分量之间相互正交的几何关系、和/或天线阵元之间的几何结构等几何结构先验知识，通过数学工具—几何代数将其结合起来，发展几何代数张量，来探讨张量模型结合几何结构先验知识的可能性和可行性，期待发现这些应用中新现象和总结出相应处理的新规律。

为了将矢量、矩阵和张量升阶成张量和高阶张量，以及将高阶张量降阶成低阶张量提供了手段，我们定义了一个新的典范多元张量展开算子，发展了张量代数理论。针对张量元素存在的相互作用、变化规律、具有的各种数据格式和/或噪声分布等先验知识，我们借助于多项式预测模型，以及定义的矩阵多项式预测模型将其描述成状态方程，并将其与张量分解模型联系起来，从而建立起了张量状态空间分解的模型。当视模型中的张量和矩阵为张量和矩阵随机变量时，就为典范多元张量的分解提出了矩阵贝叶斯滤波算法。由于给出的状态方程本身具有状态时间转移特性，因此提出算法被推广到时变张量和/或时间序列张量的分解。分析表明：在先验信息未知的条件下，提出的时变张量和/或时间序列张量的状态空间分解算法，其最差的性能也与经典交替最小二乘算法相当。当因子矩阵包含未知参数时，则可将给出模型中中的观测张量及其未知参数视为张量随机变量和随机变量，这样就提出了典范多元张量状态空间分解的参数化贝叶斯滤波算法。分析也表明：提出的算法可由卡尔曼滤波、无迹卡尔曼和粒子滤波等实现。特别，当因子矩阵的参数模型互不相关时，所有因子矩阵的参数可同时估计，而不必采用传统的交替更新方法，从而改善了算法的估计精度和收敛性能。.在此基础上，利用张量的多维结构信息，开展模R张量压缩感知和模R阵列处理有关的应用基础研究。给出了经典L型阵列的虚拟面阵、一种新的三维稀疏阵列、两种新的二维最小阵列及它们相应的张量模型和处理方法，为提高阵列分辨率和处理精度给出了一条新途径。通过探索将数学对象—电磁波信号及其分量间相互正交的几何关系、和/或天线阵元间的几何结构等几何结构先验知识的极化敏感阵列，发展出了一个新概念（现象）-张量（高维）波束成形器，发现了利用张量外积来合成方位角、俯仰角和极化分量等子维度为张量波束的新规律。