离散动力系统中的不变流形、不变叶层与线性化问题

Invariant manifold and invariant foliation are basic problems in the theory of dynamical systems. By classical results, existence of such manifolds and foliations is guaranteed by a gap in spectrum of the linear part of a system, while smoothness is determined by the width of the gap. So questions arise: Without the spectral gap, do the invariant manifolds and invariant foliations still exist? Can we find some other conditions to determine the smoothness? Smooth linearization is another basic problem, which is closely related to the smoothness of invariant foliations. Due to the difficulty that one cannot distinguish iteration rates between normal direction and tangent direction as well as the difficulties caused by complexity of the Lyapunov-Perron equations and non-uniformity, the theories of invariant foliations and linearization for normally hyperbolic systems and random dynamical systems are far from being completed. .This project will combine theories of normal forms with iterative equations to overcome the difficulty caused by the lack of spectral gap, so as to study the smooth invariant submanifolds and smooth invariant foliations on a center manifold. Moreover, by combining the normal direction with contraction part of the tangent direction, introducing invariant distributions and considering subexponential rates, we will either improve or extend known results on invariant foliations and linearization for both normally hyperbolic systems and random dynamical systems in the aspects of dimension of space, structure of invariant set, smoothness, Sacker-Sell spectral condition, Lyapunov exponent condition and so on.

不变流形和不变叶层是动力系统理论中的基本问题。根据经典理论，系统线性部分谱集合中的间隙可以保证流形与叶层的存在性, 而间隙的大小则决定了光滑性的高低。那么在没有谱间隙时，不变流形和不变叶层是否存在？其光滑性又由什么条件决定？光滑线性化是另一个基本问题，它与不变叶层的光滑性密切相关。由于存在无法分开法向和切向上的迭代速率、Lyapunov-Perron方程过于复杂以及非一致性等困难，针对法向双曲系统和随机动力系统的不变叶层与线性化理论仍待完善。.本项目将结合正规形和迭代方程的理论去克服没有谱间隙所带来的困难，从而研究中心流形上的光滑不变子流形和不变叶层。此外，通过整合法向和切向的压缩部分、引入不变分布以及考虑次指数增长性等办法, 我们将从空间维数、不变集的结构、光滑性、Sacker-Sell谱条件和Lyapunov指数条件等方面改进或扩展前人在法向双曲和随机情形下已有的不变叶层与线性化结论。

光滑线性化及相关的不变叶层和不变流形问题是动力系统理论的基本问题，一直以来都是国际上十分关注的研究领域，其结果在分岔、混沌、稳定性等理论中有重要应用。从2017年1月到2020年12月，本项目主持人张文萌与成员李林、赵侯宇、刘鹏、朱圣陵等共同研究了以下主要内容：(i)压缩情形下离散随机动力系统的C^1线性化问题；(ii)具有非一致指数二分非自治双曲动力系统的C^1和可微线性化问题，包括相应的不变叶层问题；(iii)Banach空间中线性化关于参数的Holder依赖性问题；(iv)不变流形相关迭代函数方程连续解的凸性。.本项目把经典的双曲光滑线性化理论推广到了随机和非自治情形。这两类情形都是动力系统领域热门的研究方向，有大量问题有待人们去解决，而我们的线性化结果将在其中起到十分基础和重要的作用。即使限制到经典情形（确定、自治），我们的线性化结果仍然改进了前人的工作，不仅在光滑性上优于Hartman的结果，还肯定地回答了自1990年以来的一个关于同时可微和Holder线性化的公开问题。本项目还得到了线性化关于参数的Holder依赖性、一类2维的两次多项式映射的共轭分类以及迭代函数方程的连续凸解等结果，为分岔、Henon映射迭代根以及无谱间隙不变流形等问题的研究打下坚实理论基础。本项目一共完成8篇论文，其中有6篇发表在Adv. Math.、Proc. London Math. Soc.、Math. Z.等SCI期刊，1篇发表在国内的优秀期刊《数学进展》，还有1篇已经被SCI期刊Acta Math. Sinica接受。.在项目执行期间，项目组成员先后以线上、线下的方式到国内外高校访问交流20余次，线下主办小型会议一次，线上、线下邀请国内外知名专家访问交流20余次。项目执行期间共培养了相关方向研究生5名，重庆师范大学数学科学学院围绕项目主持人张文萌初步建立起一支动力系统研究团队，包括赵侯宇、李书平、唐肖等成员，其中张文萌在2019年获得国家自然科学基金优秀青年科学基金项目，赵侯宇在2019年晋升为教授。