Banach空间中双曲微分同胚的光滑线性化问题

Since it preserves dynamical properties in the cunjugacy, such as the smoothness of the invariant manifolds and the characteristic directions of the systems, smooth linearization is one of the basic methods in studying the local behaviors of the dynamical systems.It has important applications to the studies of the problems such as homoclinic bifurcations, iterative roots of mappings and topological mixing of hyperbolic flows. Although mathematicians had given several sufficient conditions to guarantee the smooth linearization, one is still wondering if more results with higher smoothness of linearization can be obtained under weaker conditions on the smoothness or spectrum of the systems. Moreover, one also wants to extend the classical results from Euclidean spaces to Banach spaces. This program will try to solve the above-mentioned problems for C1 and differentiable linearization. On the plane, the main difficulties are how to prove the convergence of the sequences of iterated functions and how to find the counter examples to show the sharpness of the results. In Banach spaces, the main difficulties are how to realize the "partial linearization" and how to construct the smooth invariant manifolds as well as invariant foliations. We will attempt to overcome these difficulties by means of appropriate uses of the Whitney Extension Theorem, precise estimates of the general iterates of mappings and intensive studies of the Lyapunov-Perron equation, and thereby extend the results of C1 and differentiable linearization.

由于可以在共轭的过程中保留不变流形的光滑性及系统的特征方向等动力学性质，双曲微分同胚的局部光滑线性化是研究动力系统局部定性性质的基本方法之一。它对同宿轨道分岔、映射的迭代根和双曲流的拓扑混合等问题都有重要应用。虽然前人已经给出了光滑线性化成立的若干充分条件，但是人们仍然想知道能否进一步减弱系统的光滑性或者谱条件，而同时提高线性化的光滑度。另外，也想把一些欧氏空间中的经典结果推广到Banach空间中去。本项目试图针对C1和可微线性化解决上述问题。在平面上，其困难之处在于如何证明迭代函数序列的收敛性以及如何寻找反例来说明结果的最佳性。而在Banach空间中，如何实现"部分线性化"以及如何构造光滑不变流形与不变叶层将是主要难点。我们将尝试通过合理运用Whitney扩张定理、准确估计映射的一般迭代与深入研究Lyapunov-Perron方程来克服这些困难，从而推广C1和可微线性化的相关结果。

作为简化系统的有力工具，线性化是微分动力系统理论中最基本的问题之一。对复数域中解析线性化的研究最早可以追溯到Poincaré和Birkhoff。而在实数域中，则是Sternberg首先在上世纪50年代给出了光滑线性化的结论。他证明了满足非共振条件的微分同胚与其线性部分局部光滑共轭。紧接着，Hartman和Grobman各自独立地证明了双曲微分同胚可以被局部线性化。此后，由于应用的需要，从1950年代至今，众多学者（如Nelson、Belitskii、Sell、Stowe和ElBialy等）一直尝试运用各种方法改进Sternberg、Hartman和Grobman的结果，即尽量减弱系统的光滑度和非共振条件，同时尽量提高共轭映射的光滑度。与线性化密切相关的不变流形是另一个基本问题，它在解的长期行为，系统的约化和正规形等问题的研究中起着十分关键的作用。在线性部分的谱间隙（spectral gap）条件下，Hadamard和Perron在上世纪初首先研究了稳定和不稳定流形。后来的学者（如Hale、Hirsch–Pugh–Shub、Mañé、Marsden和Ruelle等）把他们的方法分别称之为图像变换法和Lyapunov-Perron方法，并把这两个经典方法广泛应用于对不变流形和不变叶层的进一步深入研究。在此漫长的研究过程中，谱间隙条件一直被保留，以确保经典方法的适用性。那么，我们自然会问：没有谱间隙（spectral gap）时，如何研究不变流形和不变叶层？针对上述两方面的问题，本项目主要做了以下工作：.1. 研究了平面双曲微分同胚的可微线性化问题，运用Whitney扩张定理，给出了系统和共轭映射光滑性的最佳估计。.2. 在没有任何非共振条件时，利用不变叶层分解得到了具有最佳光滑性的线性化结果，即在双曲不动点处可微的线性化和在双曲不动点附近的最佳Hӧlder线性化。.3. 在2维中心流形上（无谱间隙条件），结合正规形和函数方程的理论，研究了不变子流形和相应不变叶层的存在性和光滑性。