动力系统中的孤立不变集

在微分方程定性理论和动力系统中，一个基本课题是研究孤立不变集。因为如果将孤立不变集研究清楚，包括存在性，内部结构以及它周围的轨线性态，就可以得到系统的全局结构,还可以进一步分析它的结构稳定性。本项目包括三部分内容。（1）确定性动力系统中的孤立不变集。在古典动力系统中，像不动点集，周期点集，Poisson稳定点集，非游荡点集等这些都是大家所熟悉的孤立不变集。二十世纪七十年代，著名数学家C.Conley引入了链回复集，它包含非游荡集。后来人们又找到了一些新的孤立不变集。我们将研究系统中存在某种孤立不变集的充分条件，研究其结构，寻找一些新的孤立不变集。（2）随机动力系统中的孤立不变集。人们已经给出了随机动力系统中的孤立不变集的定义。平稳解的研究也取得了许多杰出的结果。但对其他孤立不变集的研究成果还很少。我们将主要研究随机周期解等问题。（3）研究时滞微分方程中存在某种孤立不变集的充分条件。

本项目研究动力系统（包括确定性动力系统、随机动力系统和时滞微分方程）中的孤立不变集的存在性、内部结构等。. 在确定性动力系统中，我们找到了两类新的孤立不变集：一个集合的延拓区域和 $omega$-扩充集。并利用两类孤立不变集分别给出Lipschitz 各态历经性和广义各态历经性的充分必要条件。我们还研究非连续斜积流，得到了半一致可加遍历定理。. 在随机Burgers方程中，我们得到了随机周期解存在性的充分性定理。. 在时滞微分方程中，研究带有混合单调性的n维时滞反应扩散方程，证明了行波解的存在性。研究了一类具有静止阶段的时滞扩散模型，得到了波前解存在性。对于二阶非线性中立型时标动态方程，证明了存在非振动解的若干个充分必要条件。