不可压缩流体中的正定性及粘性的作用

The partial differential equations arising from fluid mechanics stand at one of the central subjects of the interests in analysis of PDEs, with very wide applications in the field of physics, engineer and mechanics, etc. Recently, the incompressible Navier-Stokes equations and its coupled system with other scalars or fields with full or parital viscosity have attracted extensive attentions of mathematicians. We will focus on the mathematical theory of the incompressible Navier-Stokes equations and those coupled system with partial viscosity. In particular, we will study the singular behavior and global well-posedness of local smooth solutions. As is well-known that, the global well-posedness of the 3D incompressible Navier-Stokes equations is still one of the Millenium Prize problems. We believe that our study on those complicated equations may stimulate us some new ideas which makes them more promising than the Navier-Stokes equations.

流体力学中的偏微分方程是应用偏微分方程最重要的研究对象之一，对它们的研究在物理、工程与力学中也有极其重要的应用背景。近年来，Navier-Stokes 方程及与欧拉方程或Navier-Stokes方程耦合的不可压缩流体力学方程引起了许多数学家的浓厚兴趣。我们将对Navier-Stokes方程及具有部分粘性的不可压缩的粘弹性流体力学方程、具有部分粘性的不可压缩的磁流体力学方程等这些流体力学中既有共性、又本质不同的偏微分方程解的条件适定性及整体适定性理论、解的奇性等进行较为系统的研究。不可压缩的Navier-Stokes方程解的正则性或有限时间有限能量奇性至今为止仍是一个众所周知的公开问题。本人相信上述的貌似更为复杂的流体力学方程可能具备比Navier-Stokes方程更好地分析性质，并将对此作初步探索。

不可压缩Navier-stokes方程是描述粘性流体运动的最基本力学方程，在偏微分方程数学理论及流体力学中都具有核心的重要性。我们研究了轴对称情形不可压缩Navier-stokes方程解的径向速度分量的符号在解的整体适定性中的稳定性作用。具体来说，我们通过构造一类经依赖于径向空间自变量的解，并通过方程的特殊结构及奇异摄动理论，进而得到了不可压缩Navier-stokes方程的一大类整体适定的解。在证明经依赖于径向空间自变量的解的存在性的过程中，径向速度分量的符号起到了至关重要的作用。需要强调的是，这里的符号是一个危险的符号。我们还构造了一个3维的、满足能量关系的、具不可压缩性的、与Navier-stokes方程具类似非线性结构的模型方程，并得到了其解的整体适定性。这一工作很好的补充了著名数学家侯一钊与雷震及陶哲轩等人的工作。