具有部分粘性的不可压缩流体力学方程组解的整体适定性

The research of fluid mechanics equations has been important and hot topics in nonlinear PDE aera. The study for the equations not only have significant theory meaning but also have applied meanings in engineering. . The project will investigate global well-posedness of solutions to the incompressible fluid mechanics equations in magnetic field in 2 dimension and 2.5 dimension with partial viscosity. Firstlly, we will study the two-dimensional fluid mechanics equations in magnetic field. We will focus on establishing the global existence in time of strong solutions to MHD equations, magnetic-micropolar fluid equations and magnetic Bénard problem. Furthermore, we will discuss the global regualrity of solutions to MHD equations and magnetic micropolar fluid equations with partial viscosity and Hall-MHD equations with full viscosity and partial viscosity in 2.5 dimension.

流体力学方程组的研究是当前国际上非线性偏微分方程研究上比较热门的课题，不仅在物理和数学上具有重大的理论意义，也在工程上具有一定的应用意义。. 本项目将研究磁场中的几类具有部分粘性的2维和2.5维(变量的三个分量不依赖z方向)流体力学方程组的解的整体适定性。首先，研究2维具有部分粘性磁场中流体力学方程组，我们将着重研究MHD方程组、磁微极流体方程组及磁Bénard问题的强解的整体存在性。其次，我们将研究2.5维具有部分粘性的MHD方程组、磁微极流体方程组及全粘和部分粘性的Hall-MHD方程组的解的整体正则性。

流体力学方程组的研究是当前国际上非线性偏微分方程研究上热门的课题之一，不仅在物理和数学上具有重大的理论意义，也在工程上具有一定的应用意义。本项目对磁场中的几类具有部分粘性的2维流体力学方程组的解的整体适定性、稳定性、正则性以及相关的偏微分方程的解的适定性进行了系统研究，获得一系列的有意义的结果。. 首先，研究了2维不可压缩磁流体力学（MHD）方程组两类部分粘性问题解的适定性和稳定性。我们首先研究具有垂直耗散和水平磁扩散的2维MHD方程组在背景磁场附近扰动下的稳定性，得到了线性系统的精准的衰减速率，建立了非线性系统小初值的解的适定性，并进一步获得非线性系统解的显式衰减率，从更精准的角度建立了方程组的稳定性。然后，研究了无速度耗散的2维MHD的方程组的解的稳定性和大时间行为，该问题一直是当前的一大公开问题。具体：我们研究了无速度耗散、仅速度垂直分量方程中包含阻尼的2维MHD的方程组，严格建立了背景电磁场对导电流体的稳定作用，获得了解在H^2空间中的最优衰减估计，验证了在物理实验和数值模拟中已得到广泛观察的稳定现象。 . 其次，研究了2维不可压缩部分粘性磁微极流体方程组的两类问题的解的适定性。首先，研究了2维不可压缩部分粘性磁微极流体方程组的一类初边值问题，具体：研究了在带形区域中2维不可压缩零电阻及零微旋粘性的磁微极流体力学方程组，其速度场满足Navier边界条件，我们获得了在平衡态附近小初值强解的整体存在性。此外，研究了2维广义（具有分数阶耗散）的磁微极流体方程组的解的适定性，建立了几类耗散指数和部分粘性问题的解的整体正则性。. 本项目的完成，不仅完善了相关流体力学问题的数学理论、促进相关数学分支的发展，同时将物理实验和数值模拟中流体现象从理论上得以证明，也为相关的应用领域，如航天航海、军事工程、土木水利、环境工程等提供一定的理论基础和指导意义。