生物种群适应动力学数学建模与数学新方法

Adaptive dynamics of biological populations are studied by partial differential equations, stochastic differential equations and game theory. Models for adaptive behaviors are extended from autonomous ordinary differential equations to the models with periodic environment and stochastic perturbations. New mathematical approaches are achieved through the researches. Classical theory of adaptive dynamics needs the separation of ecological time scale with evolutionary time scale, which will be removed to include rapid evolution. Mathematical models are established in terms of fitness of population that incorporates both benefit and cost. Nonlocal diffusions are also considered to mimic the long range responses of individuals to environment. Mathematics for the global existence of solutions of models and computation of basic reproduction number of populations are developed.

综合运用偏微分方程、随机微分方程和对策论方法来研究生物种群适应行为动力学性态，把适应动力学研究范围从自治常微分方程发展到具有周期环境的模型、具有随机环境的模型，从数学研究方法上获得一些重要进展和创新；传统的适应动力学要求生态学演化和生物特性演化时间尺度上的分离，我们将去掉这一较为严厉的限制，以便能研究种群快速适应的情形；数学建模以适合度为基础，引入非局部进化扩散，让扩散策略不但考虑收益因素，也考虑其代价，还反映种群大范围的响应能力，数学上需要对解全局存在和种群基本再生数的计算方法创新；当种群跟随气候变化随斑块迁移时，我们将研究捕食与被捕食模型，把单调系统的研究推广到非单调情形；传统的适应动力学假定生态学参数是常数，我们将研究周期生态环境下生物种群适应行为演化的规律。

研究了生物种群在Allee效应下持续生存与绝灭的条件。 提出了反应扩散模型半行波解的概念，证明了非互惠种群模型和细菌增值模型半行波解最小波速的存在性,并得到了最小波速的解析表达式。研究了随机噪音和细胞竞争对前列腺癌耐药性和治疗方案的影响;分析了在疫苗和免疫系统联合作用下前列腺癌演化的方向，为改进免疫疗法提供了理论依据。改进了噬菌体疗法动力学模型，证明了细菌的免疫机制可以导致后向分支的存在性，发现了人体免疫响应能导致模型具有稳定正周期解和稳定无噬菌体平衡点的双稳定性，由此产生噬菌体过小剂量和过大剂量而产生的治疗失败。对于河流生态模型，得到了行波解存在的充要条件，肯定了该模型的最小波速具有线性决定性。给植物与水模型引入了植物根主动吸水和相互保护作用，揭示了植被退化的一些重要因素。建立了清除潜伏库动力学模型，分析了联合使用激活剂和抗体对基本再生数的影响，并设计了最佳停药时间。建立了一类具有季节性切换的捕食和竞争模型，利用定性分析方法得到了随机噪音影响下种群持续生存的临界值。把气候变化因素引入到种群动力学模型, 研究了气温升高速度和种群扩散速度对种群共存和竞争排斥的影响。建立了进食障碍数学模型，引入了体重指数和非局部传染这些关键因素，推导了模型的基本再生数，得到了控制进食障碍流行的条件。