一类空间奇异反应对流扩散方程的行波解与交互作用

The theory of traveling wave solutions for reaction diffusion equations is a important research topic in mathematical ecology. In the present, a model to study the impact of climate change (global warming) on the survival and dynamics of species was proposed. Affected by climate change, population dynamics model has important theoretical significance and wide application background. This project will study a class, population dynamics model, which affected by climate change. By using semigroup theory, the maximum principle for parabolic equations and the theory of dynamical systems and mathematical ecology, we study traveling wave solutions and their interactions of reaction diffusion equations in heterogeneous media, which are abstracted from the biological model; study the existence, exponential asymptotic decay estimates and stability of traveling wave solutions,study the impact of convective terms on the critical wave speed. By using comparison principle, upper and lower solution techniques, we describe the interaction of traveling wave solutions, depict some of the new nature of the entire solution. Expected through the development of new research methods, we will establish a number of innovative abstract results, which will be used to explain and control the population changes of particular models in practice.

反应扩散方程的行波解理论是数学生态学的重要研究内容。当前，气候变化（如全球变暖）对种群动力学行为产生重要影响。研究受气候变化影响的种群动力学模型具有重要的理论意义和广泛的应用背景。本项目将借助于非线性分析、半群理论、偏微分方程、动力系统和数学生态学原理等理论研究一类受气候变化影响的种群动力学模型。具体而言，研究一类从该模型中抽象出来的含对流作用的空间奇异反应扩散方程的行波解及其交互作用；研究行波解的存在性、指数渐近衰减估计及稳定性，分析方程中对流项对行波解临界波速值产生的影响；利用比较原理，上下解技术，描述方程行波解的交互作用，建立方程整体解的存在性理论，刻画整体解的一些新性质。可望通过发展一些新的研究方法，建立一些具有创新性的抽象结果。并结合具体模型，对解释和控制诸如物种如何适应气候变化等实际问题提供理论依据。

本项目借助于非线性分析、半群理论、偏微分方程等理论研究了以生物学为背景的反应扩散方程的稳态解、行波解、行波解之间的交互作用等问题。目前已完成主要内容， 取得了一些研究成果，达到了预期目标。主要内容和成果包括：（1）研究了周期媒介中双稳型反应对流扩散方程非平面行波解的渐近行为以及行波解之间的交互作用，得到了方程的新型整体解。（2）建立了时滞型双稳反应扩散系统的行波解的单调性、 唯一性和李雅普诺夫稳定性。（3）研究了生物种群模型的稳态解的稳定性，给出了稳态解的稳定条件；证明了非平凡行波解的持久性。（4）证明了带有趋化性扩散的生物模型的一致有界解的整体存在性。