复化数理方程的亚纯解表示及其应用

In this project, we will investigate some problems and conjectures of complex differential equation's and normal family theories by using of the theory and methods of Nevanlinna value-distribution. Mainly to research the Malmquist type theorems of the second order algebra differential equations, specially to attend the Laine conjecture and the representation and application of meromorphic solutions of certain complex PDEs. Give a new method to determine the exact solutions of certain PDEs and its many applications. Find and prove some normal criteria sharing a function, specially to concern the case of a rational with analysis coefficients composite a meromorphic function family that share a function, which will extend the famous Montel Criterion. Study the uniqueness of meromorphic function concerning derivative and share function by using of the theory of normal family...It is well known that find the exact solutions of PDEs and give a new method are the hot problems in morden mathematics. The theory of normal family is the base of Complex Dynamics System which is one of the main contents of mordern mathematics. So to determine the normal criterian has been had important meaning. Therefore any advance of our problems must have functions for moving the develop of mathematics and related sciences.

本项目主要运用函数的值分布理论等分析方法研究微分方程解析理论与正规族理论中的若干问题和猜想。主要研究二阶代数微分方程 的Malmquist 型定理，特别关注Laine猜想和一大类复化数理方程的亚纯解表示，并给出新的寻找数理方程精确解的复化方法以及大量应用。寻找并证明涉及分担函数的正规定则，特别关注解析系数有理函数复合亚纯函数族分担同一个函数的亚纯函数族正规定则，因为这可广泛推广Montel定则。用(拟)正规族理论研究涉及导数与分担函数的亚纯函数的唯一性。.总所周知，寻求数理方程的显示精确解以及方法是热点课题，正规族理论是研究复动力系统的基础内容，而复动力系统又是当今主流数学内容之一，确定正规定则无疑具有理论意义。因此本项目这些问题的任何进展对数学学科的发展无疑都具有一定的推动作用，都是可以吸引人们跟进的、发展前景看好的研究课题。

项目的7个主要研究内容: .1 研究二阶代数微分方程 $f’’=R(z,f,f’)$ 的Malmquist 型定理与亚纯解的增长级估计. .2 对于具有一项控制项的常系数高阶微分方程, 特别是许多有应用背景的数理方程经适当变量替换复化后都属于此类, 探讨其亚纯解的存在性与可能表示形式. .3 运用复化法, 分类研究并给出许多数理方程显式精确解, 确定新的精确解并绘制图形. .4证明解析系数有理函数复合函数族分担一个函数的函数族的正规定则, 因为这可以极大地推出著名的Montel正规定则. .5 寻找并证明涉及Hayman猜想等相关结果分担函数的正规定则. .6 考虑并证明结合导数的复合函数族的函数族的正规定则, 这可以看成上述两类问题的推广. .7用正规族理论或拟正规族理论来研究涉及导数与分担函数的亚纯函数的唯一性. .结题摘要：项目执行四年来, 全体研究成员对7个主要研究内容按计划全面开展了研究工作. 共计发表论文52篇, 其中SCI期刊检索36篇、核心期刊8篇、一般国内外期刊8篇。特别地，项目负责人第一作者/通讯非第一作者分别发表12/13篇SCI检索论文。.本项目的主要成果是首次提出确定具有特殊控制意义的非线性偏微分方程行波精确解的“复方法”, 即对一类具有控制项的常系数复常微分方程进行研究，先得到了所有可能的亚纯解，进而给出了行波变换下对应数理方程的所有精确解。四年来，在21篇论文里，我们运用复方法对五类二阶常系数代数微分方程，给出了所有亚纯解的明晰表示，并用这些结果给出 KdV 方程等20余类方程或方程组的所有行波精确解，特别是发现许多全新的具有2个以上生成极点的解，并用数学软件 Mapple 对这些新解进行了模拟。 多数情形下，单周期函数与有理函数解都可以由椭圆函数解退化得到，但并不完全如此. 换句话说, 独立确定单周期函数与有理函数解都也是必要的, 而且往往是新解.另外，我们还首次研究并得到三类奇数高阶方程的所有亚纯解也都具有Weierstrass性质，但也得知Fisher 方程的亚纯解并不具有Weierstrass性质. .“复方法”在确定非线性偏微分方程行波精确解上是强有力的方法, 并不是所有有理函数解和单周期解都可由双周期解退化得到, 满足我们条件的方程不可能再有别的“新行波解”, 以及并不是所有亚纯行波解都是Weierstrass形式解.