代数微分方程的亚纯解表示及其应用

Algebraic differential equation has a strong physical background, and it is a research hotspot in the field of complex analysis. The representation of meromorphic solutions and their properties play an important role in the study of algebraic differential equations. Therefore, this project intends to use Nevanlinna theory, Wiman-Valiron theory, special function theory, operator decomposition theory and symbolic computing software to study the following contents:.1. Verify that the Loewy factorizable third order algebraic differential equation satisfies the Hayman conjecture, and give the representation of its meromorphic solutions..2. Study on the solutions representation of higher order mathematical physics equation with physical background, get the form of the solutions, use mathematical software to calculate to determine the new solutions and draw its three dimensional animation graphics, and give the physical meaning as well as practical application of the solutions. .3. The classification of meromorphic solutions of differential equations by Demina and Kudryashov is extended to difference equations. .The implementation of this project will obtain new results of meromorphic solutions of algebraic differential equations and difference equations, promote the integration of different branches of mathematics, and provide theoretical basis for physics and other fields, which has important scientific significance.

代数微分方程具有很强的物理背景，是当前复分析领域的研究热点。亚纯解表示及其性质的探讨，在代数微分方程的研究中占有重要地位。因此，本项目拟利用Nevanlinna理论、Wiman-Valiron理论、特殊函数理论、算子分解理论和符号计算软件研究以下内容：.1.验证可Loewy分解的三阶代数微分方程满足Hayman猜想，并给出其亚纯解的表示形式。.2.研究具有物理背景的高阶数理方程的解表示。得出解的形式后，运用数学软件进行演算以确定新解和绘制其三维动画图形，并给出解的物理意义和实际应用。.3.将Demina和Kudryashov对微分方程亚纯解的分类应用到差分方程。.本项目的实施将获得代数微分方程和差分方程亚纯解的新结果，促进不同数学分支之间的融合，为物理学等领域提供理论基础，具有重要的科学意义。

本项目考虑了当前复分析领域的热点问题，利用了Nevanlinna理论、Wiman-Valiron理论、特殊函数理论、算子分解理论和符号计算软件展开研究。本项目的第一类主要成果是首次对确定具有特殊控制意义的非线性偏微分方程行波精确解的“复方法”进行改进，对一类具有控制项的常系数复常微分方程进行研究，先得到了所有可能的亚纯解，进而给出了行波变换下对应数理方程的所有精确解。本项目得到了具有丰富的物理意义的高阶数理方程的亚纯解表示，根据解的形式，运用Maple、Matlab等数学软件进行演算以确定新解，绘制函数解的三维动画图形以研究解的性态，给出解的物理意义以及实际应用。本项目引入了对数导数引理的广义q-差分模拟，对Korhonen先前结果进行改进，并应用于探讨一些线性差分方程的亚纯解的增长。项目执行三年来，对三个主要研究内容按计划全面开展了研究工作。共计发表SCI论文15篇，其中第一作者9篇、通讯非第一作者5篇、非通讯非第一作者1篇。本项目的实施获得代数微分方程和差分方程亚纯解的新结果，促进不同数学分支之间的融合，为物理学等领域提供理论基础，具有重要的科学意义。