基于Topos理论的量子态的可区分性研究

Quantum information theory began to develop after Einstein et al. putting forward the EPR paradox. As the discovery of substantial results such as quantum teleportation, it rises rapidly. Distinguishing quantum states, especially distinguishing the quantum states by LOCC is a core problem in its practical applications. Since the superposition principle of quantum states, it becomes very difficult. Isham et al. adopt a different approach. In order to solve many problems in quantum theory, they developed topos quantum theory by using category theory. This project intends to solve the problem about the distinguishability of orthogonal quantum states by the tool of topos quantum theory. We mainly use the relevant knowledge of category theory to study how to depict entangled states, separate states and the orthogonal relation between quantum states in topos language. And an effective method will be found to distinguishing orthogonal.quantum states. We will also find right topos language descriptions for some classical conclusions in quantum mechanics such as no-cloning theorem. Then we will prove them in topos theory. Expected results are expected to promote the development and perfection of topos quantum theory. They will give more solutions to problems related to distinguishing quantum states in quantum information theory.

量子信息论是自Einstein等人提出EPR佯谬后发展起来，并随着量子隐形传态等重大成果的发现迅速崛起的一门学科。区分量子态特别是局域区分量子态是量子信息论在实际应用中需要解决的核心问题，但由于量子态的叠加原理，使得区分量子态变得非常困难。Isham等人另辟蹊径，以范畴理论为工具建立了topos量子理论，以此来解决量子理论中的诸多难题。本项目拟以topos理论为工具对正交态的可区分性这一难题进行研究，主要利用范畴理论的相关知识，研究如何用topos语言刻画纠缠态、可分态和量子态的正交关系，并找到有效局域区分正交量子态的方法。我们还将为量子力学中的经典结论如量子态的不可克隆定理等找到合适的topos语言描述并用topos理论加以证明。预期结果可望促进topos量子理论的发展和完善，并对区分量子态等相关的量子信息论问题给出更多的解决方案。

在量子力学中，任何一组正交量子态都可以由整体操作进行区分，然而对于两体复合量子系统，局域操作和经典通信(LOCC)一般不足以区分正交量子态集。虽然利用LOCC来区分正交量子态的研究已经取得了很大的进展，但是对于一些广义Bell态(GBSs)的区分仍然很困难。本项目主要研究最大纠缠态(特别是GBSs)的局域可区分性以及GBS集合的局域酉等价。对于一组GBSs，我们通过研究其差集和一些同余方程解的情况，得到了一些容易计算的充分条件，这些充分条件可以有效地判断这组GBSs是否可以由LOCC区分。在某些维数的两体复合系统中，我们还找到了一些充分必要条件。根据经典通信方式的不同，LOCC分为单向LOCC和双向LOCC。我们以构造的方式证明了在任意维的两体系统中都存在大量的最大纠缠态集合，它们可以由双向LOCC区分但不能由单向LOCC区分，这说明二者之间存在差距。由于局域酉等价的量子态集合具有相同的可区分性，为了有效地研究GBS集合的局域可区分性，通过局域酉等价对它们进行分类是很重要的。我们给出了两个GBS集合局域酉等价的一个刻画。利用这个刻画，在素数幂维的两体系统中，对于任意两个GBS集合，我们给出了一种通用的可编程的方法来确定它们是否局域酉等价。利用这个方法，我们对5维两体系统中的4元和5元GBS集合进行了完全分类，并且确定了这些等价类的局域可区分性。