关于Hopf代数结构的若干研究

Hopf 代数是代数学的一个重要分支，在数学物理及量子力学中有广泛应用。本项目主要研究域k上Hopf代数的Galois 扩张及Hopf代数的模代数的结构。在Galois扩张方面，主要研究Hopf-双Galois扩张，以此来解决Hopf代数中的Galois对应问题； 在Hopf代数的模代数方面，主要研究其稳定化子及Smash积的结构，此研究可解决一些Hopf代数的分类问题，并有助于解决Kaplansky 的第六猜想。

本项目基本按照研究计划进行，主要研究了域k上有限维Hopf代数及其H-单的模代数的结构。研究了可迁模代数和H-单的模代数之间的关系，并探讨了在什么条件下H-模代数的稳定化子是H-单的；利用Hopf作用的稳定化子，得到了有限维Hopf代数和其H-单的模代数的smash积同构于其稳定化子上的全矩阵代数的一些充分条件；计算出一些特殊类型的模代数的稳定化子的结构。这些结果推广了Harrison的群代数在集合上作用的结论，以及Blattner和Montgomery 关于有限维Hopf代数的Heisenberg double 同构于全矩阵代数的相应结果；改进了本人在2010年得到的关于smash积结构的结果（要求Hopf代数是半单的，其模代数是可迁的并且具有一个一维的理想）。本项目取得的研究结果是对有限维Hopf代数特别是半单Hopf代数的结构新的发展和贡献，可望对本领域和相关领域产生积极的影响。