椭圆型方程边界反演及在逆散射中的应用

考虑由Helmholtz方程描述的一类椭圆型方程的边界反问题，目的是由外问题的解在无穷远处的信息（散射波的远场数据）来确定定解问题的边界性态。问题的物理背景是利用电磁散射波的远场数据来检测散射体的边界形状和性质。和经典的优化识别方法不同，本项目基于申请人及其研究小组最近发展起来的标志函数方法，利用此函数的逼近行为来确定边界形状和性态，研究反演的数值实现方法特别是利用有限测量数据重建的精度问题。重点研究散射体的边界凸性和凹性以及边界上的阻尼条件对散射行为的影响，这种影响使得可以通过引进边界上阻尼系数的适当分布，来控制散射体边界利用远场数据的可探测性。本项目的创新点在于通过边界反问题的数学研究给出了散射体的最优设计和散射体隐形的可能性。我们提出的反演方法的数学上的本质是一类高维奇性函数的逼近问题，它涉及到奇性积分的有效计算，带弱奇性核的第一类积分方程的求解，椭圆型方程外问题的数值解等。

考虑由椭圆型方程描述的介质散射的边界反问题，主要研究目的是由外问题的解在无穷远处的信息来确定定解问题的边界性态，包括利用标志函数的方法和优化方法确定边界的阻尼系数和边界形状,研究反演的数值实现方法，特别是利用有限测量数据重建的精度问题，同时也充分关注在项目研究过程中出现的新的反问题和研究方法。利用标志函数的构造、多散射体的波场分解、基于基本解的优化方法等一系列创造性的反演技术，本项目圆满完成了研究计划中关于散射体边界性态的重建任务。对基于全部入射方向的远场数据重建散射体边界的逆散射问题的探测方法，建立了重建近场D-to-N映射的稳定性方案和误差估计，为数值实现提供了理论保证；对基于有限个入射方向对应的散射波远场数据同时重建散射体边界形状和边界阻尼系数的复杂逆散射问题，提出了基于基本解的优化方法，对其中源函数的位置的选取的定性理论、正则化解的收敛性等给出了系统的理论分析，部分解决了工程领域使用MFS方法时源函数选取的不确定性的问题。对边界形状已知时重建边界阻尼分布的问题，建立了基于边界积分方程的变阻尼系数重建方案及正则化解的误差估计，从而可以有效检测目标散射体的边界性态，推广了Colton-Kress小组的相关工作；对多重介质和多个封闭散射体的散射问题，建立了波场分解方法，把整个总场分解为通过边界条件耦合的多个单一散射体产生的散射波的叠加；对嵌入在开放多层介质中的散射体的散射问题，系统建立了外层介质的透射边界条件，进而通过层剥离技术有效计算散射场。这些工作圆满完成了本项目预计完成的研究任务。..除此之外，对研究过程中出现的关于入射波在斜入射时的波场散射问题、关于标志函数的方法推广到热传导方程时内部腔穴的重建的问题、对双曲-抛物系统的多参数重建问题、对标准的抛物方程和时间分数阶导数的逆时问题等，发展了Carlemann估计技术，特征函数展开技术，并且都给出了有效的数学分析和数值实现。 这些工作除了已把它们用于内部参数成像、图像处理等新的反问题求解以外，还为一批新的具有重要应用意义的反问题的求解提供了数学基础。..本项目已发表15篇SCI论文，10次国际会议报告，4次国内会议邀请报告，培养研究生14名，主办国际国内学术会议各一次。同时基于本项目的工作基础，我们在2013年成功申请一项NSFC重大研究计划。