椭圆型方程反问题及数值解

研究由椭圆型方程边值问题解的附加信息确定定解问题中的未知成份（方程系数，区域边界）的反问题。该类问题数学上的难点在于问题的非线性性和不适定性， 物理背景则是由介质外部的可测量信息来探测介质内部的未知量，在无损检测，地质勘探，医学成像等领域有广泛的应用。课题包含两个方面的研究内容：由Helmholtz方程描述的复杂散射体的边界反问题和散度型椭圆型方程的系数反问题。对前者， 研究多个散射体的边界形状，边界类型重建问题和单个散射体的带混合边界条件的逆散射问题。和单个散射体的具有单一边界类型的逆散射问题相比，这类复杂散射体的逆散射问题具有本质的困难，需要建立新的重建方法。对后者， 研究由散度型椭圆型方程解的内部信息重建方程系数的问题，这是由近年来的医学核磁共振成像技术（MREIT）引出的新的微分方程反问题。将对现行的反演算法建立系统的数学理论，包括收敛性分析，误差估计等，并发展新的稳定的反演算法。