拟共形映射中的超几何函数及其在 Ramanujan 模方程中应用

In this project, our research will focus on the analytic and geometric properties of hypergeometric functions in quasiconformal mappings, and their applications in Ramanujan's modular equations. The main contants include the following three parts: (1) The precise or asymptotical precise inequalities for the capacities of Teichmüller ring and Robin, infinity product formula for Hübner upper bound function and sharp evaluations of the Hersch-Pfluger distortion function. On this basic, we will improve the well known quasiconformal Schwarz lemma and the estimation for the solutions to Ramanujan's modular equations. (2) The basic properties of the generalized modular equations with signatures 1/4 and 1/6 together with their related hypergeometric functions, the infinity-product representations for the quotients of hypergeometric series and the dual form of the quadratic transformations for their corresponding hypergeometric functions. (3) The analytic properties of the generalized Grötzsch ring and generalized Hersch-Pfluger distortion functions, and the strict mathematical proofs for several algebraic identities involving the solutions to Ramanujan's modular equations which was appeared in the Ramanujan's lost notebooks and have not yet been proved. This project is interdisciplinary and has broad application prospects.

本项目着重研究拟共形映射理论中的超几何函数的分析和几何性质及其在 Ramanujan 模方程理论中的应用，主要研究内容为以下三部分：（1） Teichmüller 环容量和 Robin 容量的精确或渐进精确不等式、Hübner 上界函数的无穷乘积表达式和 Hersch-Pfluger 偏差函数的精确估值，并由此改进拟共形 Schwarz 引理和 Ramanujan 模方程解的精确估计；（2）符号差分别为 1/4 和 1/6 的广义模方程及其相关的超几何函数的基本性质，给出超几何级数比值函数的无穷乘积表达式及其对应超几何函数二次变换的对偶形式；（3）广义 Grötzsch 环函数和广义 Hersch-Pfluger 偏差函数的分析性质，给出 Ramanujan 遗留手稿中若干至今尚未得到证明的有关模方程解的代数恒等式的严格证明。本项目学科交叉性强，应用前景广。

共形不变量是研究拟共形映射理论的重要工具，有关共形不变量的许多公式均可以用超几何函数来表示。不仅如此，数论中重要分支 Ramanujan 模方程也可用超几何函数给出，并且模方程的解与拟共形映射中的 Hersch-Pfluger 偏差函数密切相关。为此，上世纪 90 年代，芬兰数学家 Vuorinen 教授等开始对拟共形超几何函数进行专题研究，历经 20 多年发展，许多优秀研究成果被获得，同时也提出了很多问题。本项目围绕拟共形映射、超几何函数和 Ramanujan 模方程开展研究，解决了交叉领域中的一些重要问题。主要研究内容和重要结果如下：（1）研究 Hübner 上界函数的无穷级数表达式和 Hersch-Pfluger 偏差函数的精确估计。通过利用 Landen 变换，找到了 Hübner 上界函数由初等函数给出的无穷级数公式，建立了 Hersch-Pfluger 偏差函数在指数形式下的最佳初等估计，并由此改进了拟共形 Schwarz 引理和 Ramanujan 模方程解的估计；（2）研究符号差为 1/4 的广义 Ramanujan 模方程及其相关模方程函数。借助 Gauss 超几何函数的二次变换公式，建立了参数为 1/4 的超几何级数比值函数无穷乘积表达式及其不等式，揭示了符号差为 1/4 广义模方程解的性质；（3）研究超几何函数的 Landen 型不等式，二次变换公式及其推广形式，单参数的广义椭圆积分和双参数的广义 Grötzsch 环函数的分析性质。我们建立了几类零平衡超几何函数的二次变换不等式，证得了第二类完全椭圆积分由初等函数给出的渐近精确估计，推广了第一类完全椭圆积分满足的经典不等式到单参数的广义椭圆积分，获得了 Gamma 函数的有理函数逼近，证明 0<p<1 时的 Gautschi 不等式。此外，通过建立一类超几何函数的 Landen 型不等式，将 Grötzsch 环函数满足的二倍公式推广到了双参数的广义 Grötzsch 环函数。