Drinfeld 模上的特殊值

This project will study the following five problems. ..1. We will study the entireness of L-functions of Drinfeld modules and abelian t-modules over function fields..2. We will study the special values of L-functions of abelian t-modules and any Galois representation of function fields..3. We will give an equivariant special value to group all special values of Galois representations. We will give an explicit formula of the equivariant special values in terms of some arithmetic invariant of Drinfeld modules and shtukas..4. We will prove the Stark's conjecture of abelian t-modules..5. We will study the relation between the vanishing of v-adic zeta values of Drinfeld modules and the algebraic independence of zeta values of Drinfeld modules.

本项目拟开展下列问题的研究 .1. 研究函数域上 Drinfeld 模和阿贝尔 t-模的 L-函数的整性。.2. 给定函数域上的阿贝尔 t-模和函数域的 Galois 表示，研究其 L-函数特殊值的算术性质。.3. 给出能描述所有 Galois 表示特殊值的等变特殊值， 并将特殊值用阿贝尔 t-模及其对应 shtukas 的算术不变量表达出来。.4. 证明阿贝尔 t-模上的 Stark 猜想。 .5. 研究 Drinfeld 模 v-adic zeta 特殊值的零性和 Drinfeld 模 zeta 特殊值的代数无关性二者之间的内在联系。

本人有两个研究方向：微分模和 Drinfeld 模。.. 在 Drinfeld 模领域，我主要研究 Drinfeld 模以及阿贝尔 t-模上 L-函数特殊值及等变特殊值的算术性质。为了研究 Drinfeld 模上的等变特殊值，我首先建立了在 Galois 群作用下正特征的等变迹公式。运用上述等变迹公式，本人证明了阿贝尔 t-模上 Galois 表示的 Goss-Artin L-函数特殊值的类数公式，即该等变特殊值可以表达成两个格的体积差和一个有限不变量，前者给出了特殊值的超越部分，后者给出了特殊值的有理部分。 该公式证明了函数域上的 Stark 猜想成立，即 Artin L-函数的特殊值和正则子只差一个有理式。. 在微分模领域，我主要研究一类特殊的微分模--超几何微分模。给定一个整系数矩阵以及一个复向量， Gelfand, Kapranov 和 Zelevinsky 在 1980 年代定义了 A-超级微分模，现在被称为 GKZ-微分模。根据矩阵列向量生成的组合性质和环面簇理论，我构造了 GKZ-微分模上的一个滤链，并证明了在一些简单的组合条件下，该滤链具有半单的相继商。同时对环面簇上的反常层，我也证明了类似的结果。此外对 GKZ-系统的不可约性做了一个完整的刻画。