几类流体力学方程整体解的存在性、正则性和极限行为

In this article, we aim to use harmonic analysis, functional analysis to study some important hydrodynamic equations deriving from modern physics, such as magnetohydrodynamic (MHD) equations, Eriksen-Leslie equations modeling nematic liquid crystal flows, which are nonlinear coupling equations taking Navier-Stokes equations as a subsystem. More precisely, we will construct a new proof framework and make use of the (modified) energy method, successive approximation method, weak convergence method, Littlewood-Paley theory, functional space theory, etc. to study the following mathematical problems: (1) Global existence of weak solutions and large-time behavior for the two- and three-dimensional non-isothermal compressible electromagnetic equations; the asymptotic behavior of the vacuum dielectric constant vanishing. (2) Global well-posedness of small smooth solutions to the density-dependent incompressilbe MHD equations with zero diffusivity; Global existence of weak solutions to the non-isothermal incompressible MHD equations with zero diffusivity. (3) Wellposedness of strong solutions for the compressible nematic liquid crystals; Global existence of weak solutions and large-time behavior for the compressible nematic liquid crystals; Weak-strong uniqueness; Low mach number limit for the compressible nematic liquid crystals.

本项目拟用调和分析、泛函分析工具研究现代物理学中出现的几类重要的流体动力学方程，如：磁流体动力学（MHD）方程、向列型液晶模型的 Eriksen-Leslie 方程，它们都是以 Navier-Stokes 方程为子系统的非线性发展耦合方程。具体地，将构建新的证明框架，利用(修正的)能量方法、弱收敛方法、Littlewood-Paley 理论、函数空间理论等研究如下数学理论问题：（1）二维、三维可压缩电磁-热耦合方程弱解的整体存在性和大时间渐近行为；真空介电常数消失的极限行为。（2）变密度不可压缩磁冻结 MHD 方程光滑小解的整体适定性；热传导不可压缩磁冻结 MHD 方程弱解的整体存在性。（3）可压缩向列型液晶系统强解的适定性；弱解的整体存在性和大时间渐近性态；弱-强唯一性；小马赫数极限行为。

本项目研究了现代物理学中出现的重要的流体动力学方程 ：向列型液晶方程组，它们都是 以Navier-Stokes方程为子系统的非线性发展耦合方程。我们考虑了液晶流力学方程初边值问题的适定性，得到了（1）初始密度大于零的三维不可压缩液晶方程组大初值局部强解的存在唯一性、小初值条件下整体强解的存在唯一性以及解的弱-强唯一性；（2）含真空、初值满足自然的相容性条件下的三维可压缩液晶方程大初值强解的局部存在唯一性、近平衡态下强解的整体存在唯一性以及稳定性，存在性结果是通过局部适定性和对适当的具有对流项的线性化系统的一致估计得到的；（3）含真空、初值有充分的正则性且满足自然的相容性条件下的二维不可压缩液晶方程小初值整体强解的的存在唯一性，在这里我们利用了对数型的临界 Sobolev 不等式提高了解的正则性。