动力系统的秩一吸引子与连结轨道问题研究

本项目研究某些具有重要应用背景的非线性发展方程和常微分方程（组）的秩一吸引子，即具有单一不稳定方向并且在其余方向上强压缩的吸引子问题；研究格上动力系统的连结轨道问题。利用秩一混沌理论研究几类非线性发展方程在不同周期脉冲激励和线性反馈控制下产生秩一混沌行波解的机制，建立物理和力学中某些具有周期轨道、同宿轨道或异宿圈的二阶常微分方程在各种周期扰动下存在具有SRB测度的奇异吸引子的判定方法；利用变分法研究将非线性发展方程的空间变量离散化导出的格上动力系统的同宿轨、多链型异宿轨的存在性与多重性等相关问题，特别是统一了格上微分方程与耦合格点映射的时间标尺（time scale）上的格上动力系统；该项研究对揭示动力系统中混沌产生的机制，更好地认识和理解动力系统的复杂动力学行为有重要意义。

本项目主要研究了动力系统的秩一混沌及其同步、连结轨道和周期解的存在性与多重性以及某些具有重要物理意义的非线性波方程的行波解问题。主要研究成果如下：1）运用混沌的0-1检验方法证实了具有周期脉冲激励的一个二维秩一混沌系统和Chua秩一混沌系统在引入小时滞后仍然存在混沌吸引子，并利用Lyapunov泛函和线性时滞反馈控制方法实现了该二维秩一混沌系统与引入小时滞后所对应的时滞系统的渐近同步，实现了Chua秩一混沌系统与引入小时滞后所对应的时滞系统的投影同步。2）利用一种新技巧证明了一个弱化的Lieb型引理，并结合山路引理和弱收敛技巧给出了一类二阶脉冲微分方程存在非平凡弱同宿轨的一个充分条件。3）利用k-集压缩映射重合度理论获得了具有周期收获率的中立型单种群时滞模型和中立型多时滞对数种群模型至少存在两个正周期解的判据。4）利用Mawhin重合度理论和一种新的先验估计技巧分别获得了具有周期收获率的食物有限两种群合作斑块系统、Gilpin-Ayala竞争斑块系统和基于比率的捕食者-食饵斑块系统存在多个正周期解的判据。利用Mawhin重合度理论及不等式方法研究了一类描述两种浮游生物相互竞争且植化相克现象的时间标尺上的动力系统模型, 建立了该模型至少存在两个周期解的一组判据。5）提出了一个适用于求解某些具有重要物理意义的分数阶微分方程的可由幂函数表示的时空尺度不变行波解的齐次性原理，并利用该原理求出了广义分数阶Benjiamin-Ono方程和广义分数阶Zakharov-Kuznetsov方程在某些参数条件下的时空尺度不变行波解。6）利用平面动力系统分支理论给出了等离子声波方程存在光滑、非光滑孤立波解和不可数无穷多光滑、非光滑周期波解的参数条件。