Fokas 统一方法在可积方程初边值问题中的应用

Many physica problems (such as ionospheric, optical problems) can be formulated as initial-boundary value (IBV) problems. To study the existence of the solutions, construct the exact explicit solutions and consider long time asymptotic for solutions of the equations in closed form are the important contents in physical and experiment research. Based on soliton theory and integrable system with the help of the Riemann-Hilbert (RH)approach, by using Fokas unified method-generalized inverse scattering method, the project aims at studying the initial-boundary value problem for integrable nonlinear evolution equation from two points: (1) for the IBV problems of integrable equations, exploiting the RH problem, we can devote to constructing the soltion in some nonpolygon convex domain, and for a well-posed problem, we improve the Dirichlet and Neumann problems. (2) for the Lax integrable nonlinear evoution equation, we can seek out the multi-soliton solutions and other explicit solutions and appilcations by using the Fokas unified method. Also, with help of steepest descent method, we improve this method by studying the long time asymptotic behavior of the smooth solution. These studies will provide theoretical basis and analytical tools for the physical experiment and the actual situation.

许多物理(如电离层、光学等)问题可以归结为非线性发展方程的初边值问题研究，研究这类方程解的存在性与解的显性形式及长期行为是物理与光学通信理论和实验研究的重要内容。本项目将基于孤立子与可积系统理论，以Rieman-Hilbert(RH)问题为研究工具，利用Fokas 统一方法-推广的反散射方法，从两个方面研究可积非线性发展方程的初边值问题：(1)该方法用于研究可积非线性发展方程初边值问题，以RH问题为工具，寻求其在非凸多边形等区域的显式解，并且对于适定的问题，发展研究Dirichlet和Neumann边值问题；(2)对Lax可积非线性发展方程的初边值问题，发展利用该方法，借助于非线性速降法,寻求其多孤子解与显式精确解，并考虑解得的长时间行为。这些研究将为物理实验和实际状况提供理论基础和分析工具。

许多物理（如电离层、光学）问题可以归结为可积方程的初边值问题的研究，研究这类方程解是物理与光学通信理论和实验研究的重要内容。本项目基于孤子和可积系统理论，主要从4个方面研究非线性方程初边值问题求解：(1)利用 Fokas 统一方法,求解了有限区间 Fokas-Lenells 方程初边值问题，并且用 GLM 方法给出了Dirichlet 和 Neumann 边界条件的线性关系。特别地，在 Robin 边界条件下，得到方程 RH 问题解的表达。此结果已经由国际 SCI 期刊(The Fokas-Lenells equation on the finite interval, Acta Mathematica Scientica B. 37(2017), 852-876)发表。(2)研究了不可压缩 3D Ericksen-Leslie 液晶系统初边值问题弱解局部正则性，并且拓宽了3D Novier-Stokes 方程弱解局部正则性的条件。此结果已经由 SCI 期刊(Boundary Value Problems. 62(2017))发表。(3)利用 Riemann-Hilbert (RH) 方法，求解了 Harry Dym 方程的初值问题，获得了1-奇异环状孤子解，并且第一次以 RH 问题为工具, 利用非线性速降法，寻求解的长时间行为的显示表达。此结果(long time asmptotic behavior and solton solutions for the Harry Dym equation 已投 Mathematical Analysis and Applications)待接受发表。(4)由于寻求 RH 问题矩阵的难度，目前对有限区间高阶可积方程初边值问题的考察较少。 我们利用 Fokas 统一方法，求解了有限数轴上三阶谱问题可积方程组初边值问题, 获得 RH 问题矩阵解的表达。此结果(The Initial-boundary value problem for a integrable equation with Lax pairs of 3*3 matrices on the interval 已投 Physics Letters A)待接受发表。