非线性速降法在可积方程初边值问题中的应用

The dynamic characteristics and loog time asymptotic behavior of the solution for the integrable equation are an important research subject of the soliton theory and the integrable system. The loog time asymptotic behavior of study for nonlinear integrable systems with initial-boundary value has always been one of difficult and hot spot in the research of integrable systems. Based on soliton theory and integrable system with the help of the Riemann-Hilbert (RH)approach by Fokas unified method, and by nonlinear steepest descent method, the project aims at studying the initial-boundary value problem for integrable nonlinear evolution equation with 1+1 or 2+1 dimension from two aspects:(1) we consider the long time asymptotic behavior of solution for KdV, Harry-Dym equations with initial-boundary value on the half line. (2) we analyse the long time asymptotic behavior and application of solution for coupled nonlinear Schrödinger equation with higher order matrix spectrum problem and initial-boundary value on the half line. Through the research of this project, nonlinear steepest descent method will be developed and perfected, and theoretical basis and analytical tools for the physical experiment and the actual situation will be provided.

孤立子理论与可积系统的一个重要研究课题是可积方程的解的动力学特征分析及解的长时间行为分析。可积系统初边值问题解的长时间行为的研究一直是可积系统领域研究的难点和热点之一。本项目基于孤子和可积系统相关的的理论，以在Fokas方法基础上建立的Riemann-Hilbert(RH)问题为研究工具，利用非线性速降法，从二个方面研究1+1维和2+1维非线性发展方程初边值问题:(1)研究半直线上KdV、Harry-Dym方程的初边值问题条件下的解的长期行为分析。(2)研究半线上具有高阶谱问题的耦合非线性薛定谔方程初边值问题解的长期行为。通过此项目的研究，欲发展和不断完善非线性速降法理论，同时也将为物理与光学通信理论和实践研究提供有力分析工具。

孤立子理论与可积系统的一个重要研究课题是可积方程的解的动力学特征分析及解的长时间行为分析. 可积方程初边问题这方面研究一直是可积系统领域研究的热点. 本项目基于孤子和可积系统相关的的理论，以Riemann-Hilbert (简称RH) 问题为研究工具，以非线性速降法为基础，研究了可积方程初边值条件下解的动力学特征和解的长时间行为. 目前，在本项目的资助下，已经在国际SCI期刊上发表5篇论文和待发表2篇论文.主要成果如下：.1.研究了带有非零边界的高阶（3阶和5阶）色散系数推广的mKdV方程多个简单孤子解和高阶极点解，推广了RH问题理论应用到高阶方程.该结果被国际SCI期刊《Nonlinear Dynamics》发表..2.研究了具有高阶谱问题耦合mKdV方程在非零边界下求解问题，获得简单极点解的8个行为结构. 该论文有别于2阶谱问题的难点是特征函数的解析范围不在同是一个区域，需更改，建立RH 问题.该结果被国际SCI期刊《Journal of Mathematical Analysis and Applications》发表..3.利用Fokas统一方法，研究了具有高阶谱问题的非线性可积方程在有限区间初边值解的存在性. 主要难点是3*3Lax对(不像耦合的mKdV方程，Manakov 系统等）不具有良好对称性.该结果被国际SCI期刊《Acta Mathematica Scientia》发表..4.研究了具有高阶非线项条件的广义Camassa–Holm–Novikov 方程和有低频和高频初始条件的Camassa–Holm型方程在索伯空间上解映射的非一致连续性.该结果分别在国际SCI期刊《Journal of Mathematical Fluid Mechanics》和《Journal of Mathematical Analysis and Applications》发表..5.研究了具有WKI谱问题的Harry Dym方程在非零边界条件下的简单极点和高阶极点解的问题，把高阶求解的理论推广到WKI谱问题方程，从而推广了理论的应用范围.该结果待发表.. 6.利用发展的非线性速降法，研究了Harry Dym方程在有限密度初值条件下解的长时间渐进性和孤子分解.主要难点是有限初值条件的空间选取和RH问题的更改.该结果待发表.