谱变换在非线性可积方程初边值问题中的应用

（项目研究内容和意义简介）..本申请项目的研究内容主要包括两个方面：一方面是通过对一定区域上的初边值问题所涉及的（矩阵）Riemann-Hilbert（RH）问题的零点进行高阶推广，并在一定的约束条件下求解此RH问题，然后利用RH问题的解以及初始条件和已知边界条件求解初边值问题；另一方面是探讨反散射变换方法与初边值问题的可解性的联系，由此寻找新的初边值问题可解的非线性可积方程，并对其加以深入研究。..该项目的研究将极大地丰富可积系统的数学理论，并将促进可积方程初边值问题的解法与解的形式的多样性，提高人们对谱分析与可积方程孤子解的认识。

非线性发展方程的谱分析在实际问题中具有十分重要的意义。本项目所涉及的反谱变换方法主要包括以谱分析为手段的Zakharov-Shabat穿衣服方法、Riemann-Hilbert问题的穿衣服方法和Dbar-问题的穿衣服方法。穿衣服方法的优势是不仅可以构造非线性可积方程以及其Lax对，而且同时可以给出其显式解。本项目研究的重点是非线性可积方程的初值问题。通过对Zakharov-Shabat穿衣服方法的推广，我们研究了耦合非线性Schrödinger 类方程、Davey-Stewartson 类方程和Hirota–Satsuma耦合KdV方程；利用Riemann-Hilbert问题的穿衣方法研究了广义非线性Schrödinger方程和离散mKdV方程；利用Dbar-问题的穿衣服方法研究了与3×3矩阵谱问题相联系的带自相容源的耦合非线性Schrödinger方程、Sasa–Satsuma方程、三波方程以及长短波方程，与2×2矩阵谱问题相联系的AB方程和耦合无色散方程。