无穷维动力系统的随机小扰动

This projet is mainly concerned with the small random perturbation of infinite dynamical systems，including large deviation principle, exit problem and stability with respect to small random perturbation.Firstly,according to different type of the noise, we establish the large deviation principle and estimate large deviation probability for stochastic partial differential equations and stochastic partial (functional) differential equations under suitable condition.Then, we focus on exit problem for the perturbed process, when the unperturbed system satisfies some properties such as stable equilibrium, unstable equilibrium or attractor. By large deviation principle and the Markov property of the perturbed processes, we obtain the asymptotic estimation on the exit time and exit distribution for the perturbed processes. Finally, we use the asymptotic estimation on the exit time to study the stability with respect to small random perturbation.

本项目主要研究无穷维动力系统的随机小扰动问题，包括大偏差原理，越出问题和系统关于随机扰动的稳定强度。首先根据噪声的不同类型，在适当的条件下建立偏微分方程和（偏）泛函微分方程的大偏差理论，估计扰动过程的大偏差概率。接着重点研究在未扰动系统具有一定性质的条件下，例如具有稳定平衡点、不稳定平衡点或者吸引子，研究扰动过程的越出问题，利用大偏差原理和扰动过程的Markov性质获得越出时间和越出分布的渐近估计。最后利用越出时间的渐近估计研究系统的稳定强度。

随机扰动可能使得无穷维动力系统的某些重要特性发生改变, 例如当系统受噪声的影响时,噪声会使得系统以概率一离开任何一个有界集。因此研究无穷维动力系统的随机小扰动问题引起了广泛关注。我们针对这些问题进行了深入研究。 首先研究了随机微分方程以及无穷维随机微分方程解的存在唯一性问题;利用随机无穷维动力系统理论，开展对随机动力系统吸引子的存在性和上半连续性、不变流形和不变叶层的存在性、光滑性和可测性等课题的研究，获得了一系列结果;研究了随机扰动对动力系统的影响以及越出问题。