无穷维随机动力系统的SRB测度

Random dynamical system as an interdisciplinary of stochastic analysis and dynamical system,especially describing the relation among complexity and rondomness in system is always an hot issue in the research of dynamical system. In smooth ergodic thoery, among all the inviriant measures of differentiable maps, Sinai-Ruelle-Bowen( SRB ) measures are considered to be most physical, and their existence and related propertise constitute one of the most significant topics of research. In this project, we attempt to do research on SRB measures in infinit dimentional random dynamical system. A linear respose formula of SRB measures with respect to random perturbations of hyperbolic coupled lattice( and other more general infinit dimensional systems ) will be established and the random stability of these SRB measures will be given . Furthermore, we will probe into the influences of dimensions, hyperbolicity, coupled structrue and random perturbations to the SRB measures.

随机动力系统作为基础数学中随机分析与动力系统的交叉方向，特别是对系统复杂性与随机性之间关系的刻画一直是动力系统研究中的热点问题。 在光滑遍历论中，可微映射的所有不变测度里，Sinai-Ruell-Bowen（SRB）测度被认为是最有物理意义的，其存在性及相关性质的研究构成一个重要的课题。 本项目拟对无穷维随机系统的SRB测度展开研究。尝试研究双曲耦合系统（进而更一般的无穷维系统）的SRB测度的随机稳定性以及SRB测度关于系统在随机扰动下的可微性及其导数，即建立随机线性响应公式。从而刻画系统维数、随机扰动、双曲性和耦合结构对SRB测度的影响。

本课题组在三年中主要展开了如下两个方面的研究：.在拓扑动力系统与遍历理论方面，我们首先对历史上紧致系统拓扑熵的各种定义进行了梳理，并详细讨论了各种定义之间的关系；其次针对非紧确定系统，我们引入了相对拓扑压和逆紧拓扑压的概念，建立了相应的变分原理并研究了重分形性质；最后对非紧随机系统，我们也给出了经典拓扑熵的合理推广，并建立了相应的变分原理。.在微分动力系统与光滑遍历论方面，对于有限维系统，我们依据 Catatheodory-Pesin 结构，引入“时间权重”的压，证明了相关性质，特别地，给出了其在双曲系统中的应用；对无穷维系统我们引入随机耦合双曲系统，证明了随机稳定性，给出了平衡态的存在性和部分唯一性结果，正在进一步探索唯一性的条件以及此唯一测度（SRB测度）的相关性质。