第二类Eshelby 问题及其应用研究

The second Eshelby's problem is concerned with the physical fields induced by the eigenstrain applied on the inhomogeneity within an infinite matrix. The study of it constitutes the foundation to obtain the effective properties of matrix-particle composites. No doubt such a problem that may involves cracks, pores or foreign particles plays a vital role in micromechanics, whatever theoretically or practically. But up to now, due to the mathematical difficulty, say, the formulation from the theory of elasticity inevitably involving one or more integral equations, there is almost no explicit analytical solution for a general inhomogeneity of non-ellipsoidal shape. It is still a challenge to clarify the dependence of effective properties of heterogeneous materials on the microstructures of inhomogeneities, for example, their shapes, elastic properties, and more, such as their positions and orentations if the whole domain is finite. This project, based on our previous study on the first Eshelby's problem, is trying to challenge pssible analytical or semi-analytical solutions of this problem, using asymptotic expansion method of small parameters or any other ones we can do. Our purpose is to reveal the in-depth connections between microstructure characteristics and effecttive properties, and among different effective properties. We will propose some efficient approximate formulae for important extreme cases, such as holes, rigid particles, inhomogeneities with similar properties as the matrix or special non-ellipsoidal shapes, etc. These expectant research productions will be helpful to the diagnosis and use of defective materials, the assessment of effective properties of complex heterogeneous materials, and the design and fabrication of new composites in various engineering practice, and further reinforce the the basis of mesomechanics.

第二类Eshelby 问题研究与基体性质不同的异质发生本征应变引起的弹性场，它的求解是获得基体-颗粒型复合材料有效性质的基础。该研究不可避免地要涉及从弹性理论导出的积分方程，数学处理非常困难，目前对一般非椭球形状异质几乎没有显式解析解，为此要清楚阐明异质颗粒微结构与材料有效性质的关系仍然是个挑战。本项目将在第一类Eshelby 问题的透彻研究的基础上，采用按不同类小参数渐近展开的方法，进行第二类Eshelby 问题的解析和半解析研究，力图深入揭示复合材料有效性质与异质微结构特征的关系、以及微结构影响下各种有效性质变化量之间的关联，提出一般的和/或各种重要极端情况（比如孔洞、刚性异质、异质和基体性质相近、特殊非椭圆形状等）下的近似关系，为有缺陷材料的诊断和使用、复杂非均质材料有效性质的评估、新型复合材料的设计和制造等各种工程实践活动提供指导，进一步夯实细观力学的基础。

第二类Eshelby问题研究与基体性质不同的异质发生本征应变或受远场加载后引起的扰动弹性场，它的求解是获得基体-颗粒型复合材料有效性质的基础。1957年Eshelby提出等效夹杂思想将第二类Eshelby问题转化为第一类Eshelby问题即与基体性质相同的夹杂发生本征应变引起的扰动弹性场，该方法的前提是子域内的扰动场是均匀的，2008年证明该方法只能用于椭球（椭圆）异质情况。第二类Eshelby问题研究的数学处理非常困难，目前对一般非椭圆形状几乎没有显式解析解，为此要清楚阐明异质颗粒的性质、微结构与局部场、材料有效性质的关系仍然是个挑战。本项目首先对第一类Eshelby问题做了拓展研究，包括多项式非均匀本征应变的第一类Eshelby问题的研究、光滑夹杂外场解的研究、半平面/圆域内Eshelby问题的研究、有限域内传导夹杂Eshelby问题的研究以及球域内偏心球夹杂问题的研究等，获得多项突破性进展；其次研究了Laurent多项式表达的刚性夹杂/孔洞的扰动场问题，得到显式解析解；最后对于平面第二类Eshelby问题，采用按Dunders参数渐近展开的思想，进行了解析解研究；利用本项目支持，我们还开展了基于微有限单元体的新型连续介质理论的研究，利用新模型重新表述了经典弹性理论，并提出了具有缺陷的弹性理论。本项目对Eshelby问题进行了系统性研究，获得了丰硕的成果，解决了多个疑难问题，比如光滑夹杂外场解、球域内偏心球夹杂完整级数解、复杂形状刚性夹杂/孔洞的解析解、以及非椭圆形状异质的扰动场等，其中的求解思想大都可以进一步推广到三维情况，这些成果的应用必将推动细观力学的深入研究，包括复合材料有效性质与异质微结构特征的关系、以及微结构影响下各种有效性质变化量之间的关联等，为有缺陷材料的诊断和使用、复杂非均质材料有效性质的评估、新型复合材料的设计和制造等各种工程实践活动提供指导。