第二类Stirling数的单峰型问题的研究

Unimodality problem of combinatorial sequences is one of hot topics in combinatorics. The Stirling number of the second kind is a primary combinatorial sequence. It has strong combinatorial background and related results are pretty rich. But now there are also many open problems. Using algebraic, combinatorial and analysis methods, we mainly focus on unimodality problems of Stirling numbers of the second kind in this research, including:.1.Wegner's conjecture. It is well known that Stirling numbers of the second kind are unimodal with at most two modes. When n＞2, Wegner conjectured that the mode of Stirling numbers of the second kind is unique. We will consider this conjecture for sufficiently large n..2.Engel's conjecture. The Stirling number of the second kind is the number of partitions of an n-set having exactly k blocks. Engel conjectured that the average number of blocks in a partition of an n-set is concave. Canfield proved that it is true when n is sufficiently large. We try to improve existing results about this conjecture..3.Wilf's conjecture. Wilf conjectured that -1 is not a zero of the Bell polynomials for n＞2. In other words, the number of partitions of an n-set with even-numbered blocks is not equal to that with odd-numbered blocks. We will try to prove this conjecture completely.

组合序列单峰型问题的研究是目前组合数学中的热点课题之一。第二类Stirling数S(n,k)是最基本的一类组合序列，研究成果极为丰富，然而仍存在许多公开问题。本项目拟结合组合、代数和分析方法研究第二类Stirling数的单峰型问题，主要研究内容包括：.1.Wegner猜想。熟知S(n,k)关于k是单峰的且至多有两个峰点，Wegner猜想当n＞2时峰点是唯一的。本项目将考虑n充分大时峰点的唯一性问题。.2.Engel猜想。S(n,k)计数了n元有限集有k个块的分拆数目，Engel猜想这个有限集上的所有分拆所含块数的平均值是凹的，Canfield证明了n充分大时猜想是对的。本项目将致力于改进目前的结果。.3.Wilf猜想。Wilf猜想当n＞2时，Bell多项式不以-1为零点。换言之，n元有限集的所有分拆中，含有偶数个块数的分拆数目不等于含有奇数个块数的分拆数目。本项目冀望完全证明这个猜想。

第二类Stiriling数是最基本的一类组合序列，其单峰型性质的研究成果已很丰富，但仍存在许多公开问题。本项目旨在研究第二类Stirling数的单峰型问题，希望能促进这些公开问题的发展，并进而解决它们。.我们的主要研究进展有三方面：首先给出了当两个多项式的首项系数符号相反时，其具有零点相容性的充要条件，由此补充了Chudnovsky和Seymour得到的首项系数符号相同时的充要条件，同时建立了两个多项式具有零点交替性和相容性之间的联系；其次借助指数Riordan array和正交多项式的理论，统一地给出了A、B型Eulerian多项式及其q-模拟和A、B型错排多项式的发生函数的连分式表示形式，并由此能得到A、B型Eulerian多项式及其q-模拟具有强q-对数凸性；最后，我们讨论了由徐利治和薛绍雄引进的广义Stirling数的一些单峰型性质，包括某些广义Bell数的对数凸性、广义Bell多项式的实零点性、广义Bell多项式序列的q-对数凸性和广义Stirling数对应的线性变换保持对数凸性。. 我们的研究成果不仅丰富了组合数学中单峰型问题的研究内容，而且对与第二类Stirling数相关的公开问题的解决起到促进作用。