场论中的对偶及其数学结构研究

Conformal Field Theory is one of the most important field theories. Perturbating a CFT, one can get a massive field theory. Obviously, its mathematical structure changes, and the usual mathematical theory, such as VOA cannot be used to study the new theory directly. But if we require the massive field theory, there are still some good structure, such as the integrability after the perturbation, there will be some fixed points. For these fixed points set, you can use a new CFT to study, it, while the new system is called as a Y-system, it, this is the massless/massive duality. Duality is a major discovery of modern mathematical physics. A more recent duality is found in the so-called 4-dimensional N=2 super Yang-Mills theory between with 2-dimensional Liouville(Toda) theory, this is the Alday-Gaiotto-Tachikawa (AGT) theory. The key point of this problem is how to find out the connection of integrable structure of the massive Y-system with VOA of a CFT. The singularity of conformal field theory can be probed by the Landau-Ginzburg theory. In this study, parafermion conformal field is essential. The matrix model is one of the approaches to investigate the AGT Theory. With the help of loop equation of matrix model, we expect to give the symmetry structure of the matrix model. In particular, the Hopf algebra structure and Painleve property is most important.

共形场论是最重要的场论之一。对一共形场进行扰动，可以得到有质量的场论。显然，其数学结构会发生变化。但如果要求扰动后的场论，仍然有一些好的结构，如存在可积性，则在扰动过程中，会出现一些不动点。而这些不动点的结构，可以用一个新的共形场理论来刻画，这就是有质量/无质量的对偶， 而这一新的、有质量的系统被称之为Y-系统。对偶性是现代数学物理的一重大发现。新近的进展，是发现了所谓的四维N=2超对称Yang-Mills理论，与二维Liouville(Toda)理论之间的对偶，即Alday-Gaiotto-Tachikawa (AGT)理论。此问题的关键是，如何将有质量场的可积结构，即Y-系统，与无质量场的算子代数联系起来。在扰动下不变的点，构成所谓的奇点。在此项研究中，拟费米子和cluster代数至关重要。矩阵模型是研究AGT的重要工具，我们方向其Hopf代数结构以及Painleve特性。

受康塞维奇矩阵模型的启发，A.Okounkov和R.Pandharipande给出了威腾猜测的一种代数几何证明。A.Okounkov和R.Pandharipande的代数几何证明中，T.Ekedahl, T.Lando, S.Shapiro, A.Vainshtein的ELSV公式（发表在Invent.Math146 (2001)pp297-327)是其证明的基础。而ELSV公式是在相交数与Hurwitz数之间建立了对应关系。.事实上，在代数几何中有三类重要的几何量:r-spin相交数，Hurwitz数，以及Hodge积分。我们推广了著名的ELSV公式，在这三类几何量之间建立了一一对应的关系。利用顶点算子代数方法，和玻色-费米对偶关系，当矩阵模型的秩趋向无穷大时，我们得到了广义康塞维奇矩阵模型的配分函数解析表达式。当势函数设定为r-自旋相交数的函数时，r-自旋康塞维奇矩阵模型的配分函数表示为Schur函数的展开，其展开系数也解析给定。通过简单的变量代换，由此我们得到任意r-自旋相交数的解析表达式。从得到的r-自旋相交数，也可以得到Hodge数，以及Hurwitz数的解析表达式。我们编写了一计算机程序，将我们的解析表达式结果，与已知结果进行了比对，如r=3,4,5，与已知结果一致。我们还计算了新的结果，这是已知文献中没有的，r=7时的解析表达式。..我们将哈密顿矩阵模型的多点关联函数所满足的多圈方程，用对偶的算子代数的形式表示出来，就得到了一个新的代数结构。它是Virasoro代数的推广，即它的代数关系，它是将通常Virasoro代数的由整数指标标识的代数生产元，推广到包含一个由分拆(partition)标识其代数生产元。一个自然的推测，它对应于高维Wess-Zumino-Novikov-Witten模型的对称性。当然，现在还没有找到这样的模型，或者说此代数的非平凡最高权表示。最近已经有研究表明，在探索黑洞这样异常复杂的物理对象时，会得到类似的代数结构。