几何朗兰兹对应中的戴森-施温格方程

If we want to extend the Langlands duality for the affine Lie algebra in the critical level case of k = -h∨ (h ∨ is the dual Coxeter number of Lie algebra g), to which the off-critical case, we must consider its quantum deformation. From the point of view of AdS/CFT correspondence, and more specifically the BPS/CFT correspondence, we need to consider quantum deformation of the partition functions, which they satisfy an infinite set of the Dyson-Schwinger equation, The loop equation is another name for the set. Thus, to explore the off-critical geometric Langlands correspondence, or to make the infinite set of (Dyson-Schwinger) equation solution is non-trivial, then the set of equation should follow certain quantum algebra, which is essential significance. In this case, the deformed characteristic function introduced by E. Frenkel et al., which is no longer the answer to the question. We needs to develop new characteristic function functions or understand this problem from a new perspective. This study will help to reveal the Dyson-Schwinger equation in the role, as well as its hidden quantum algebra, for the geometric Langlands correspondence.

如果要将仿射李代数上的泊松代数与经典w-代数(Lg)在临界阶情形k＝－h∨(h∨为对偶的Coxeter数)的Langlands对偶关系，推广到临界外，就必须考虑其量子形变。从AdS/CFT对应, 更具体而言是BPS/CFT对应的角度看，需要考虑形变的配分函数, 且这些配分函数满足无穷集合的戴森-施温格方程，也称为圈方程。因此，有必要探索临界外的几何Langlands对偶，以及无穷集合的(戴森-施温格)方程。要使得无穷集合的(戴森-施温格)方程得解非平凡，则该方程所遵循的量子代数具有本质意义。在这种情况下，E.Frenkel等人引入的形变特征函数，已经不可能是问题的答案，需要发展新的特征函数，或从新的角度理解此问题。 本项目研究将有利助揭示戴森-施温格方程，以及其隐藏的量子代数，在Langlands对偶中的作用。

几乎所有量子场的信息，都包含在戴森-施温格方程中。不幸的是，直接求解戴森-施温格方程是不可能的，即使是对于矩阵模型这样的简单情形。目前，研究量子场论的主要工具，是费曼图展开。但费曼图的计算非常复杂，且有太多冗余，即绝大数费曼图的贡献相互抵消。费曼图展开只有拓扑的限制，因此，在物理上低效，数学上太宽泛。对于最简单的情形，即矩阵模型理论，我们将戴森-施温格方程转化为簇代数(Cluster Algebra)问题。在矩阵模型情形，戴森-施温格方程等价于圈方程。除了高斯积分的情形，一般意义下的矩阵积分，依然无法直接求解。. 在单切情况下，我们构建了簇代数和具有立方势的矩阵积分之间的关系。 矩阵积分的展开，可以从有边界的表面，重新组合成有限类型的簇代数。在本工作中，我们证明了每个有（无）边界的有界曲面，可以从有边界部分的邻接矩阵中恢复出来。有些问题还需要进一步研究。当然，立方势的矩阵积分只是整个故事中的一个很小的部分。一个自然问题是，具有一般多项式势的矩阵积分，是否有这样的代数解释。它们可能对应于广义簇代数。另一方面，多切矩阵积分，也具有离散曲面的几何意义，发展一个簇类代数来处理这些问题是很有意义的，对于这些簇类代数的附加条件，需要在将来的工作进一步考虑。