环体拓扑与几何结构

We mainly study the topological and geometric properties of closed manifolds M with locally standard G-actions, where G is a torus or a Zp-torus. The orbit space of such a group action has a nice manifold with corners structure. The main subjects of this research are the following. (1) Understand the relations between the existence of some geometric structures on M and the combinatorial structure of the orbit space M/G. （2）Study the homeomorphism classification of a special class of such manifolds (called generalized real Bott manifolds), and the classification of a related class of crystallographic groups in Euclidean spaces. （3）When M is aspherical, understand the relations between the fundamental group of M and the cohomology ring of M, and discuss the cohomological rigidity problem in this setting. (4) Study the commonnality and difference between the topological and geometric properties of topological toric manifolds and common toric manifolds. (5) If the action of G on M is free, the Halperin-Carlsson Conjecture claims that the sum of all the Betti numbers of M should have a lower bound which depends only on G. We will study and confirm this conjecture in certain range. In addition, we will explore the relation between this conjecture in dimension 3 and the fundamental group of closed 3-manifolds.

本项目主要研究的是具有局部标准的群G作用的闭流形M的拓扑性质和几何性质，其中G是环群或者 Z2环群。此类群作用的轨道空间M/G具有好的带角流形的结构。具体研究的内容有： （1）探讨M的某些类型的几何结构的存在性与其轨道空间M/G的组合结构之间的联系。 （2）研究其中一类特殊的流形（称为广义实Bott流形）的同胚分类问题，以及与之相关的一类欧式空间的晶体群的分类。 （3）当M是aspherical的时候，研究M的基本群与上同调环之间的联系，并且讨论在这种情况下上同调刚性的问题。 （4）研究拓扑环体流形与普通的环体流形之间拓扑性质和几何性质的共性和差异。 （5）如果G在M上的作用是自由的，Halperin-Carlsson猜想声称M的各个维数的Betti 数之和必有一个只依赖群G的下界。我们将在一定范围内研究并验证此猜想。另外，我们将探讨此猜想的三维情形与闭三维流形基本群之间的联系。

本项目主要研究的是具有局部标准的群G作用的拓扑空间M的拓扑性质和几何性质，其中G是实环群或者Z2环群。此类群作用的轨道空间M/G是单凸多面体或者好的带角流形，也可以是有限单纯复形。具体研究的内容和研究成果如下:.（1）研究如何用轨道空间M/G的组合信息得到M的同调群的计算公式. 特别的，我们将Moment-Angle复形同调群计算的Hochster公式推广到其一类商空间上。.（2）研究了一个单凸多面体P上small cover流形M的基本群与其面流形的基本群之间的关系。另外得到了若干三维small cover流形的拓扑和几何结构与其基本群之间关系的结果。.（3）如果G在M上的作用是自由的，Halperin-Carlsson猜想声称M的各个维数的Betti数之和必有一个只依赖群G的下界。我们在G为Z2环群，M是二维CW复形和三维流形的情况下证明了该猜想成立。.（4）在一类同调群较简单的CW复形中研究了同伦论中的一个经典问题 -- D(2)问题，并给出在此类空间中找出D(2)问题反例的一种可能途径。.（5）由一类具有局部标准的Z2环群作用的流形决定的自对偶二元线性码的结构和性质。.（6）给出了若干个单形乘积这样的多面体一些新的组合、几何和拓扑方式的描述。