环体拓扑学中一些重要问题的研究

本项目研究的是一类具有局部标准的有效G作用的闭流形M, 其中G是实环群(real torus group)或者 Z2环群(2-torus group). 有以下几个方向的问题：..(1) 当轨道空间M/G是一个单凸多面体的时候，如何通过M的上同调群的结构来确定M的拓.扑类型和等变配变类。.(2) 反过来, 给定一个闭流形 M的一些拓扑信息(比如同调群), 如何判断 M上是否存在G.的局部标准的有效作用，特别的M是否允许G的自由作用。一个变换群理论中的著名猜想.（Halperin-Carlsson猜想）声称如果M上存在G的自由作用，那么M的各个维数Betti 数的和必有一个只依赖群G的下界。本研究将在一定范围内探讨并证明该猜想。.(3) 确定一类重要的流形 - - - 实Moment-Angle流形 - - - 的上同调环的结构.

本项目的主要研究对象是一类具有局部标准的有效G 作用的光滑闭流形M, 其中G 是实环群或者 Z2 环群，且轨道空间M/G 是一个单凸多面体。当G是Z2 环群群时，流形M称为一个小覆盖（small cover）。本项目主要是研究此类光滑流形的拓扑结构和几何结构的特点，以及其与轨道空间的组合结构之间的联系。本项目的主要研究成果有：.1. 发现了广义实Bott流形的拓扑构造和与欧式空间中离散群作用的一些紧密联系。.2. 证明了Halperin-Carlsson猜想对Z2环面的自由作用的底空间是小覆盖流形（small cover)时成立。.3. 证明了任意topological toric manifold上总是存在具有某种特殊转移函数的坐标卡集。.4. 得到了闭三维流形上局部标准的Z2-torus作用的存在性的一些结果。.5. 证明了紧致infra-solvmanifolds的几种定义之间的等价性。.6. 研究了小覆盖流形上的Infra-solv结构和各种特殊黎曼度量的存在性。