有限范畴代数的Gorenstein同调性质与分层理论

Category algebras are important subjects in representation theory of algebras and modular representation theory of finite groups, and Gorenstein homological properties and stratification theory of algebras are closely related to each other, both of which recently attract a lot of attention. This project is devoted to the study of finite category algebras over commutative rings, in particular, we study of Gorenstein homological properties and stratification theory of these algebras. More precisely, we will study a sufficient and necessary condition for when a finite category algebra over a commutative ring is Gorenstein; we will study the Gorenstein homological dimension of Gorenstein finite category algebras and the category of Gorenstein-projective modules; we will study the stratified structure, the quasi-hereditary structure in particular, of finite category algebras over commutative rings; we will study the Ringel dual of quasi-hereditary finite category algebras. We will study the category of Gorenstein-projective modules described via filtration categories. The study we carry out in this project will help us to understand the category algebra, Gorenstein homological algebra and quasi-hereditary algebra.

范畴代数是代数表示论与有限群模表示理论中的重要研究对象，代数的Gorenstein同调性质与代数的分层理论之间有着密切联系，均为当前的热门研究课题。本项目拟研究交换环上的有限范畴代数，特别地，研究其上的Gorenstein同调性质与分层结构。具体来说，项目拟研究交换环上有限范畴代数成为Gorenstein代数的充要条件、有限Gorenstein范畴代数的Gorenstein同调维数以及Gorenstein投射模范畴；研究交换环上有限范畴代数的分层结构，特别是拟遗传结构，并进一步研究拟遗传有限范畴代数的Ringel对偶以及如何通过滤链范畴来描述Gorenstein投射模范畴。这些问题的解决将有助于我们对范畴代数、Gorenstein同调代数以及拟遗传代数的理解。

本项目的基本出发点是通过范畴代数，建立起群的模表示理论与其他数学分支，如：李理论、Gorenstein同调理论等之间的联系。具体来说，一方面，我们构造了Cartan型EI范畴代数与由可对称化的Cartan矩阵给出的结合代数之间的同构。上述同构给出了著名的Lusztig关于Cartan矩阵和带自同构的图之间的对应的范畴化。进一步地，我们建立了Cartan型斜群范畴与由可对称化的Cartan矩阵给出的结合代数之间的Morita等价，并应用于构造带自同构的图的根格之间folding projection的范畴化。另一方面，我们研究了由双模给出的张量函子何时诱导奇点等价，并用组合的方法，构造了一个具体的双模，它诱导了二次单项式代数与根方零代数之间的奇点等价。进一步地，我们证明了一些同调猜想，如：Auslander-Reiten猜想、Gorenstein投射猜想，是由伴随对诱导的奇点等价下的不变量。