Hom-Hopf代数及其结构研究

In this study, we will do some research in the structure of Hom-Hopf algebras using the twisting deformation method, by applying the theories of algebraic deformation, categories and homological algebras to Hopf algebras. Firstly, the structure of Hom-Doi-Hopf modules based on the Fundamental Theorem of Hom-Hopf modules, and the Maschke-type Theorem of Hom-Doi-Hopf modules at the existence of total integrals in Hom-category will be studied. Secondly, the theory of Galois extension in Hom-category including the equivalence characterization of Hopf Galois extension and the relation with the category of Hom-Doi-Hopf modules (i.e. the Schneider's affineness Theorems) will be investigated. Once more, the condition for Hom-smash product to be Morita equivalent to the invariance sub-Hom-algebra will be studied. By some twisting maps, the Duality Theorem for Hom-smash products will be considered and the homological dimension will be discussed further. Finally, weakening Hom-smash products and crossed products simultaneously, the existence and semisimplicity of Hom-crossed products will be explored.

本项目拟把代数形变理论、范畴论及同调代数应用于Hopf代数，通过扭曲形变等方法，研究Hom-Hopf代数及其结构。首先，基于Hom-Hopf模的结构定理，探讨Hom-Doi-Hopf模的结构，并在全积分存在的条件下，研究Hom-Doi-Hopf模的Maschke型定理及其应用。其次，探讨Hom-范畴中的Galois 扩张理论，主要包括Hopf Galois扩张的等价刻画及其与Hom-Doi-Hopf模范畴之间的关系，即，考虑Schneider's仿射定理。再次，寻找Hom-smash积与不变子Hom-代数之间Morita等价的条件。通过合适的扭曲形变映射，探讨Hom-smash积的对偶定理，并进一步研究Hom-smash积的同调维数。最后，同时弱化Hom-smash积和crossed积，探究Hom-crossed积的存在性和半单性。

本项目把代数形变理论、范畴论以及同调代数应用于Hopf代数，通过扭曲形变等方法，研究了Hom-Hopf代数及其结构等。首先，基于Hom-Doi-Hopf模的结构定理，研究了Hom-Doi-Hopf模的结构，并探讨了Hom-Doi-Hopf模的Maschke型定理及其应用。其次，在Hom-范畴中给出了Hom-Hopf代数上的Hopf Galois扩张的等价刻画，以及在忠实平坦的Hopf Galios扩张存在的条件下探讨了Hom-Doi-Hopf模的纺射定理。再次，在Hom-Lie代数中，构建了Hom-o-算子和经典的Hom-Yang-Baxter方程解的对应关系，类似的在Hom-代数中构建了结合的Hom-Yang-Baxter方程的解和Frobenius Hom-代数上的o-算子之间的等价关系。最后，引入了Separable Hom-代数与Frobenius Hom-代数，建立了这两种Hom-代数与Hom-Frobenius-Separable 方程之间的关系，并进一步的研究了bi-Frobenius Hom-代数的结构和构造。通过以上内容的研究，把代数形变理论应用于Hopf代数，实现了范畴论和同调代数及其方法在Hom-Hopf代数上的应用和结合，改进并推广了经典Hopf代数中的结果，丰富和发展了Hopf代数理论。