半超群的代数结构及其应用

As a generalization of semigroups, semihypergroups have important applications in combinatorial mathematics, fuzzy theory, automata theory, coding theory and cryptography. Regular relations and hyperideals are two important tools for studying semihypergroups. This project will study the following aspects: (1) Construct regular relations generated by binary relations and fuzzy regular relations generated by fuzzy relations on a semihypergroup; (2) Construct ordered regular relations on an ordered semihypergroup and complete the fundamental homomorphism theorem; (3) Establish the concept of covered hyperideals and use it to characterize the structures of semihypergroups and ordered semihypergroups; (4) Establish the relationship between semihyperoups and Cayley graphs, zero-divisor graphs; (5) Explore the application of semihyperoups in coding theory and cryptography. The research results of this project can not only enrich the contents of semihypergoup algebra theory and combinatorial theory, but also have important significance for the application of semihypergroups.

半超群结构，作为半群的推广，在组合数学、模糊理论、自动机理论、编码理论和密码学中具有重要应用。正则关系与超理想是研究半超群的两个重要工具。本项目将研究以下几个方面内容：(1) 在半超群上构造由二元关系生成的正则关系和由模糊关系生成的模糊正则关系；(2) 在序半超群上构造序正则关系，并完善序半超群的同态基本定理；(3) 建立覆盖超理想的概念并利用它刻画半超群与序半超群的结构；(4) 建立半超群与凯莱图、零因子图之间的关系；(5) 探究半超群结构在编码理论和密码学中的应用。本项目研究成果不仅能丰富半超群代数理论和组合理论的内容，而且对于半超群结构的应用具有重要意义。

半超群理论，对于代数学、组合数学和代数编码的研究具有重要理论意义。本项目主要研究了半超群上的强正则关系理论和超理想结构。主要研究内容有：刻画了循环超群上最小的强正则关系—基本关系，并研究了循环超群上由正则关系和强正则关系诱导出的相关商代数结构；在序半超群中建立了素超理想、弱素超理想、半素超理想、弱半素超理想、不可约超理想五者之间的关系，并利用这些超理想刻画了半单序半超群和内禀正则序半超群的代数结构，这些结论还被推广到一元序半超群上；同时研究了n-素超理想（素超理想的广义化）与超理想扩张之间的关系；在序半群中研究了f-素根的性质和理想的f-基分解理论，给出了最大理想成为覆盖理想的条件以及最大覆盖理想和基之间的关系，同时引入了强拟素双理想、拟素双、拟半素双理想、强不可约双理想和不可约双理想的概念，刻画了正则和内禀正则序半群的代数结构以及所有双理想都是强拟素的序半群的代数结构。这些研究成果给出了研究半超群的一些新工具，也得到了半超群结构一些新的刻画，统一和推广了有关结果，丰富了半超群代数理论。