Monoidal Hom-Hopf Galois扩张下的自同态Hom-代数的结构和扩张研究

Monoidal Hom-Hopf algebras have become a new direction of the study of Hopf algebras, over which the algebraic structures and extensions of endomorphism Hom-algebras are the main research contents. The monoidal category and integral theory are effective instruments. The following are the key point for this project:. Constructing a reasonable Hom-comodule algebraic structure on the endomorphism spaces, and the isomorphism as Hom-algebras between Hom-smash products of their coinvariant Hom-subalgebras and them, based on the fundamental structure theorem of the category of Hom-Hopf modules; Inducing Hom-comodule type of Hom-functor and tensor product functor such that form an adjoint pair by Hom-integrals; Constructing a monoidal Hom-Hopf algebra structure on the centralizer induced by symmetric Markov extension and depth 2 extension, and Hom-Hopf Galois extension of the endomorphism Hom-algebra in a Jones tower.. Concretely, we will do in three parts: characterization of the structure of Hom-comodule algebras; the structure and duality theorems of endomorphism Hom-algebras; extension and Hochschild cohomology problems of Hom-Hopf Galois and depth 2.

Monoidal Hom-Hopf代数是近年来Hopf代数研究的新方向，其上的自同态Hom-代数的结构和扩张是重要内容，其中monoidal范畴和积分理论是有效工具。. 本项目的关键是：构造自同态空间合理的Hom-余模代数结构，并基于Hom-Hopf模范畴的基本结构定理，建立它和余不变Hom-子代数的Hom-smash积之间同构关系；由Hom-积分诱导Hom-余模形式的Hom-函子和张量积函子之间的伴随对关系；由对称的Markov扩张和depth 2扩张，定义中心化子的monoidal Hom-Hopf代数结构，并构造Jones tower中自同态Hom-代数的Hom-Hopf Galois扩张。. 分三方面研究：Hom-余模代数的结构刻画；自同态Hom-代数的结构和对偶定理；以及Hom-Hopf Galois扩张和depth 2扩张，以及Hochschild上同调等问题。

Hopf代数起源于对代数拓扑和代数群的研究，与量子群、Lie代数是紧密联系的。Hopf代数理论的发展和完善极大的推动了经典结构环理论的发展，环理论中的一些经典结果可以推广到Hopf代数上的范畴中。同时，Hopf代数的范畴思想也能够被运用到Lie代数理论中，为Lie代数的研究提供了新思路、新方法。目前，Hopf代数具有多种推广形式，其中包括弱Hopf代数和Hom-Hopf代数。. 研究内容主要包括以下几个方面：首先，在Hopf代数情形下，通过构造余模代数和反代数的余张量积，建立了Hopf-Galois扩张的Hochschild上同调，从而成功的解决了美国代数学家Burciu和Witherspoon所提出的问题，同时给出应用。其次，在博士论文的研究基础上，利用弱Hopf代数的积分理论，研究了弱Hopf-Galois扩张Gorenstein维数和弱Hopf代数余模范畴中的结合代数的Wedderburn-Malcev定理和Lie代数的Levi定理，从而更好的研究余模范畴中的结合和Lie代数的结构和表示。最后，一方面利用Hom-Hopf-Galois扩张理论、Hom-积分理论和Hom-smash积的Morita理论，给出了Hom-交叉积是可分扩张的等价刻画，进而深入研究Hom-范畴中代数，如Hom-交叉积的结构和可分性、半单性等问题；另一方面，给出了两个Hom-交叉积等价的判别条件，并且在同一个Hom-交叉积的基础上，利用lazy Hom-2余循环构造了等价的Hom-交叉系统。. 以上研究内容以结合代数的Hochschild上同调、Lie代数上同调、范畴及代数表示理论为基础，充分运用积分、Hopf-Galois扩张理论、可分及余不变函子、可分幂等元等Hopf代数方法和技巧，研究了Hopf代数的范畴中的结合代数和Lie代数的结构和表示。